解$：(1)②$如答图$①，$连接$QD，$由折叠可知$∠ PHQ=∠ DHQ，$
$ ∠ PQH=∠ DQH，$$QP=QD，$
∴$∠ QHD=\frac {1}{2}∠ PHD=\frac {180°-∠ PHC}{2}=67.5°。$
∵$HI=PI，$$PH⊥ AC，$即$QC$是$PH$的垂直平分线，
∴$QP=QH，$
∴$QP=QH=QD，$
∴$∠ QHD=∠ QDH，$
∴$∠ QHD=∠ QDH=67.5°，$
∴$∠ CQD=180°-∠ QDC-∠ QCD=180°-67.5°-45°=67.5°，$
∴$∠ CQD=∠ QDC，$
∴$CQ=CD=8。$
$ (2)$解：如答图②，过点$Q_{作}QE⊥ BC，$垂足为$E，$过点$Q{作}QF⊥ CD，$
垂足为$F，$
∴$∠ QEP=∠ QFD=90°。$
∵$CA$是$∠ BCD$的平分线，$∠ BCD=90°，$
∴$QE=QF，$$∠ EQF=90°。$
∵$QP=QD，$∴$Rt△ QEP≌Rt△ QFD(\mathrm {HL})，$
∴$∠ DQF=∠ PQE，$
∴$∠ PQE+∠ PQF=90°，$$∠ PQF+∠ DQF=90°，$
∴$∠ PQD=90°，$
∴$∠ DPQ=∠ QDP=45°。$
$ (3)$如答图$③，$过点$N$作$NE⊥ BC，$垂足为$E，$过点$N$作$NF⊥ CD，$
垂足为$F。$
∵$∠ BCD=60°，$
∴$∠ ENF=360°-∠ NFC-∠ NEC-∠ BCD=120°。$
∵在菱形$ABCD$中，$CA$是$∠ BCD$的平分线，$∠ BCD=60°，$
∴$NE=NF。$
∵$NM=ND，$
∴$Rt△ NEM≌Rt△ NFD(\mathrm {HL})，$
∴$∠ ENM=∠ FND，$
∴$∠ ENM+∠ MNF=∠ MNF+∠ FND，$
∴$∠ DNM=∠ ENF=120°。$
∵$DN=MN，$
∴$∠ NMD=∠ NDM=\frac {180°-∠ DNM}{2}=30°。$
如答图④，过点$N$作$NK⊥ DM，$垂足为$K，$设$DM=a，$
$ $则$MK=\frac {1}{2}DM=\frac {a}{2}，$$NK=\frac {1}{2}MN。$
∵$MN^2=NK^2+MK^2，$即$(2NK)^2=NK^2+(\frac {a}{2})^2，$
∴$NK=\frac {\sqrt {3}}{6}a，$
∴$S_{△ NDM}=\frac {1}{2}MD· NK=\frac {\sqrt {3}}{12}a^2，$
∴当$a$最小时，$△ MND$的面积最小，
∴当$DM⊥ BC$时，$△ MND$的面积最小。
∵$DM⊥ BC，$$∠ BCD=60°，$
∴$∠ CDM=30°，$
∴$MC=\frac {1}{2}CD=\frac {1}{2}×40=20(\mathrm {m})，$
∴$DM=\sqrt {CD^2-CM^2}=20\sqrt {3}，$即$a=20\sqrt {3}，$
∴$S_{△ NDM}=\frac {\sqrt {3}}{12}a^2=\frac {\sqrt {3}}{12}×(20\sqrt {3})^2=100\sqrt {3}(\mathrm {m^2})。$
∴$S_{△ NDM}$的最小值为$100\sqrt {3}\mathrm {m^2}。$
