证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$DA=DC，$$∠ ADH=∠ CDH=45°，$$AD// BC。$
$ $在$△ DAH$和$△ DCH$中，
$ \begin {cases}DA=DC， \\∠ ADH=∠ CDH， \\DH=DH，\end {cases}$
∴$△ DAH≌△ DCH(\mathrm {SAS})，$
∴$∠ DAH=∠ 1。$
∵$AD// BC，$
∴$∠ E=∠ DAH，$
∴$∠ 1=∠ E。$
$ (2)$存在这样的点$G。$若四边形$CGDH$是平行四边形，
$ $则有$CG// BD，$$DH=CG，$
∴$∠ GCE=∠ DBC=45°，$
∴$∠ HDC=∠ GCE，$$∠ DCG=45°。$
$ $在$△ CDH$与$△ ECG_{中}，$
$ \begin {cases}∠ 1=∠ E， \\∠ HDC=∠ GCE， \\DH=CG，\end {cases}$
∴$△ CDH≌△ ECG(\mathrm {AAS})，$
∴$CD=CE=CB，$$GE=HC。$
∵$∠ HCG = ∠ 1 + ∠ DCG = ∠ 1 + 45°，$
$∠ HGC = ∠ E+∠ GCE=∠ E+45°，$
∴$∠ HCG=∠ HGC，$
∴$HC=HG，$
∴$HG=GE，$
∴$CG $是$△ BHE$的中位线，
∴$CG=\frac {1}{2}BH，$
∴$DH=\frac {1}{2}BH，$
∴$S_{△ CDH} = \frac {1}{2}S_{△ CBH} = \frac {1}{3}S_{△ CBD} = \frac {1}{3} × \frac {1}{2} S_{正方形ABCD} = \frac {1}{6}S_{正方形ABCD}，$
∴$S_{平行四边形CGDH}=2S_{△ CDH}=\frac {1}{3}S_{正方形ABCD}=\frac {1}{3} × 2×2=\frac {4}{3}。$
