$ $解$：(1) $补全图形
∵$ $四边形$ABCD$是正方形，
∴$ AB=BC，$$∠ ABC=90°.$
∵$ BE=BA，$
∴$ AB=BE=BC.$
$ $设$∠ BAE=∠ BEA=x，$$∠ BEC=∠ BCE=y.$
∵$ $四边形$ABCE$的内角和为$360°，$
∴$ 2x+2y+90°=360°，$
∴$ x+y=135°.$
∴$ ∠ AEC=135°，$
∴$ ∠ CEF=45°.$
$ (2)\ \mathrm {A}F=\sqrt {2}DF+CF，$证明如下：
$ $作$DH⊥ DF，$交$AF $于点$H，$
∴$ ∠ ADH=∠ CDF=90°-∠ HDC.$
∵$ ∠ EFC=90°，$$∠ CEF=45°，$
∴$ ∠ CEF=∠ FCE=45°，$
∴$ △ EFC$是等腰直角三角形，
∴$ EF=FC.$
$ $设$∠ BAE=∠ BEA=m，$$∠ BEC=∠ BCE=n，$
∵$ ∠ DAB=90°，$$∠ BCD=90°，$
∴$ ∠ DAH=90°-m，$$∠ DCE=90°-n，$
∴$ ∠ FCD=45°-(90°-n)=n-45°，$
$ $由$ (1)$知$m+n=135°，$
∴$ n=135°-m，$
∴$ ∠ FCD=90°-m，$
∴$ ∠ DAH=∠ DCF.$
$ $在$△ DAH$和$△ DCF_{中}，$
$ \begin {cases}∠ DAH=∠ DCF \\AD=CD \\∠ ADH=∠ CDF\end {cases}$
∴$ △ DAH≌△ DCF(\mathrm {ASA}).$
∴$ AH=CF，$$DH=DF，$
∴$ △ DHF $是等腰直角三角形，
∴$ HF=\sqrt {2}DF.$
∵$ AF=HF+AH，$
∴$ AF=\sqrt {2}DF+CF.$
