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$\sqrt{5}-1$
2
$AP=EF$
解：​$(2)$​如答图​$②，$​连接​$EQ。$​
​$ $​由折叠可知​$EF=DE，$​​$CF=CD=12，$​
​$∠ EFQ=∠ EFC=∠ ADC=90°。$​
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$AE=DE，$​
∴​$AE=EF。$​
∵​$∠ A=∠ EFQ=90°，$​​$QE=QE，$​
∴​$Rt△ AEQ≌Rt△ FEQ(\mathrm {HL})，$​
∴​$AQ=FQ。$​
​$ $​设​$BQ=x，$​则​$FQ=AQ=12-x。$​
​$ $​在​$Rt△ BCQ{中}，$​​$CQ=CF+FQ=12+(12-x)=24-x，$​
​$BQ=x，$​​$BC=12，$​
∴​$(24-x)^2-x^2=12^2，$​
解得​$x=9，$​
∴​$BQ=9。$
​
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