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$\sqrt{5}-1$
解：​$(1)$​四边形​$BPEF $​是平行四边形​$.$​
理由如下：如答图①，过点​$E$​作​$EH⊥ BC，$​交​$BC$​的延长线于点​$H.$​
∵将​$AP{绕点}P $​顺时针旋转​$90°$​得​$PE，$​
∴​$AP=PE，$​​$∠ APE=90°.$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=BC，$​​$∠ ABC=∠ BCD=90°.$​
∵​$EH⊥ BC，$​
∴​$∠ ABC=∠ APE=∠ H=90°，$​
∴​$∠ BAP+∠ BPA=90°=∠ HPE+∠ APB，$​
∴​$∠ BAP=∠ EPH，$​
∴​$△ ABP≌△ PHE，$​
∴​$AB=PH，$​
∴​$AB=BC=PH，$​
∴​$BP=CH.$​
∵​$EF⊥ CD，$​​$∠ DCH=∠ H=90°，$​
∴四边形​$EFCH$​是矩形，
∴​$EF// CH，$​​$EF=CH，$​
∴​$EF// BC，$​​$EF=BP，$​
∴四边形​$BPEF $​是平行四边形​$.$
​
​$ (2)MN$​的长度不变​$.$​如答图​$②，$​连接​$BD，$​​$BE.$​
∵四边形​$BFEP $​是平行四边形，
∴​$FP $​与​$BE$​互相平分​$.$​
∵​$M$​是​$FP $​的中点，
∴​$M$​是​$BE$​的中点，
又∵​$N$​是​$DE$​的中点，
∴​$MN=\frac {1}{2}BD，$​
∵​$AB=2=AD，$​
∴​$BD=2\sqrt {2}，$​
∴​$MN=\sqrt {2}.$​
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