证明：$(1)$如答图，过点$F_{作}MN⊥ AD$于点$M，$交$BC$于
点$N，$
∴$∠ MEF+∠ EFM=90°.$
∵$∠ EFB=90°，$∴$∠ BFN+∠ EFM=90°，$
∴$∠ MEF=∠ BFN.$
$ $在正方形$ABCD$中，$AD// BC，$∴$MN⊥ BC，$
∴$∠ FBN+∠ BFN=90°，$
∴$∠ FBN+∠ MEF=90°，$
$ $即$∠ DEF+∠ CBF=90°.$
$ (2)$由正方形$ABCD$的性质得四边形$MNCD$是矩形，
∴$MN=CD=AB=3.$
$ $在$△ BFN$与$△ FEM$中，
由$(1)$得$∠ MEF=∠ BFN，$
$∠ EMF=∠ FNB=90°.$
∵$△ BEF $为等腰直角三角形，
∴$BF=EF.$
$ $在$△ BFN$与$△ FEM$中，
$ \begin {cases}∠ FNB=∠ EMF， \\∠ BFN=∠ FEM， \\BF=FE，\end {cases}$
∴$△ BFN≌△ FEM(\mathrm {AAS}).$
∵$BC=AB=3，$
∴$S_{△ BCF}=\frac {1}{2}BC· FN=\frac {3}{2}FN=\frac {3}{2}，$
∴$FN=1，$
∴$BN=FM=MN-FN=2.$
$ $在$Rt△ BFN$中，$BF=\sqrt {BN^2+FN^2}=\sqrt {2^2+1^2}=\sqrt {5}，$
∴$S_{△ BEF}=\frac {1}{2}BF^2=\frac {1}{2}×(\sqrt {5})^2=\frac {5}{2}.$
$ (3)$证明：由$(2)$得$△ BFN≌△ FEM，$$MD=NC，$
∴$BN=FM，$$EM=FN.$
∵$MN=AB=BC，$
∴$FM+FN=BN+NC，$
∴$FN=NC=MD=EM，$
∴$∠ FCN=45°，$$DE=2MD=2CN.$
$ $在$Rt△ FNC$中，$CN=\frac {\sqrt {2}}{2}CF，$
∴$DE=2×\frac {\sqrt {2}}{2}CF=\sqrt {2}CF.$
