解：$(2)$将$△ ADF_{绕点}A$顺时针旋转$120°$得到$△ ABM，$
∴$△ ABM≌△ ADF，$$∠ ABM = ∠ D = 90°，$$∠ MAB = ∠ FAD，$$AM=AF，$$MB=DF，$
∴$∠ MBE = ∠ ABM + ∠ ABE = 180°，$
∴$M，B，E$三点共线$.$
∵$∠ EAF=60°，$
∴$∠ MAE = ∠ MAB + ∠ BAE = ∠ FAD + ∠ BAE = ∠ BAD - ∠ EAF = 60°，$
∴$∠ MAE=∠ FAE.$
∵$AE=AE，$$AM=AF，$
∴$△ MAE≌△ FAE(\mathrm {SAS})，$
∴$ME=EF，$
∴$EF=ME=MB+BE=DF+BE，$
∴五边形$ABEFD$的周长$=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+EF+AD$
$=5+6+6+5=22.$
$ (3)$在$DF{上截取}DM=BE，$
∵$∠ D+∠ ABC=∠ ABE+∠ ABC=180°，$
∴$∠ D=∠ ABE.$
$ $在$△ ADM$和$△ ABE$中，
$ \begin {cases}DM=BE，\\∠ D=∠ ABE，\\AD=AB，\end {cases}$
∴$△ ADM≌△ ABE(\mathrm {SAS})，$
∴$AM=AE，$$∠ DAM=∠ BAE.$
∵$∠ EAF=∠ BAE+∠ BAF=\frac {1}{2}∠ BAD，$
∴$∠ MAF=\frac {1}{2}∠ BAD，$
∴$∠ EAF=∠ MAF.$
$ $在$△ EAF $和$△ MAF_{中}，$
$ \begin {cases}AE=AM，\\∠ EAF=∠ MAF，\\AF=AF，\end {cases}$
∴$△ EAF≌△ MAF(\mathrm {SAS})，$
∴$EF=MF.$
∵$MF=DF-DM=DF-BE，$
∴$EF=DF-BE.$
∴$△ CEF $的周长$=CE+EF+CF=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF$
$=6+8+2×2=18.$
