解：$(1)$作点$D$关于$x$轴的对称点$D'，$连接$CD'$与$x$轴交于点$E，$连接$DE，$
此时$△ CDE$的周长最小。
$ $在矩形$OACB$中，$OA=3，$$OB=4，$$D$为边$OB$的中点，
∴$D(0，2)，$$C(3，4)，$$D'(0，-2)。$
$ $设直线$CD'$的函数表达式为$y=kx+b，$把$(3，4)，$$(0，-2)$代入，
$ $得$\begin {cases}3k+b=4\\b =-2\end {cases}，$解得$\begin {cases}k=2\\b =-2\end {cases}，$
∴直线$CD'$的函数表达式为$y=2x-2。$
$ $令$y=0，$得$x=1，$∴点$E$的坐标为$(1，0)，$
利用勾股定理，得$DE=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt {5}。$
$ (2) $解：将点$D$向右平移$1$个单位长度得到点$D'(1，2)，$作点$D'$关于$x$轴的
对称点$D''(1，-2)，$连接$CD''$交$x$轴于点$F，$连接$D'F，$将点$F $向左平移$1$
个单位长度到点$E，$此时点$E$和点$F $为所求作的点，此时四边形$CDEF $的
周长最小。
∵四边形$CDEF $的周长为$CD+DE+EF+CF，$$CD$与$EF $是定值，
∴$DE+CF_{最小时}，$四边形$CDEF $的周长最小。
∵$DD'// EF，$且$DD'=EF，$
∴四边形$DD'FE$为平行四边形，∴$DE=D'F。$
根据轴对称可知，$D'F=D''F，$
∴$DE+CF=D'F+CF=FD''+CF=CD''。$
$ $设直线$CD''$的函数表达式为$y=kx+b，$把$(3，4)，$$(1，-2)$代入，
$ $得$\begin {cases}3k+b=4\\k +b=-2\end {cases}，$解得$\begin {cases}k=3\\b =-5\end {cases}，$
∴直线$CD''$的函数表达式为$y=3x-5。$
$ $令$y=0，$得$x=\frac {5}{3}，$∴点$F $的坐标为$(\frac {5}{3}，0)，$
$ $点$E$的坐标为$(\frac {2}{3}，0)。$
