证明：$(1)$∵$AD// BC，$
∴$∠ DAE=∠ B.$
$ $在$△ ADE$和$△ BAC$中，
$ \begin {cases}AD=BA，\\∠ DAE=∠ B，\\AE=BC，\end {cases}$
∴$△ ADE≌△ BAC(\mathrm {SAS}).$
$ (2)$如图$①，$过点$C$作$CG// AB$交$BD$的延长线于点$G，$过点$C$作$CT⊥ BG $于点$T，$
$CH⊥ AB$于点$H，$连接$GH，$则$∠ DCG=∠ A.$
∵$CG// AB，$$BD$平分$∠ ABC，$
∴$∠ CGD=∠ GBA，$$∠ CBD=∠ GBA，$
∴$∠ CGB=∠ CBD，$∴$CB=CG.$
$ $又$AC=BC，$∴$AC=CG.$
∴$△ CDG≌△ AEC(\mathrm {SAS})，$∴$DG=CE.$
∴$CE+BD=DG+BD=BG.$
∵$CG// AB，$∴$S_{△ CGB}=S_{△ CGH}，$
∴$\frac {1}{2}BG· CT=\frac {1}{2}CG· CH，$
∴$BG· CT=BC· CH，$
∴$\frac {CE+BD}{BC}=\frac {CH}{CT}=m.$
$ (3)$如图$②，$过点$C$作$CG_{1}// AB，$使$CG_{1}=AC，$连接$DG_{1}，$过点$C$作$CH_{1}⊥ AB$于点$H_{1}，$
过点$G_{1}$作$G_{1}T_{1}⊥ BA$交$BA$的延长线于点$T_{1}，$连接$BG_{1}.$
∵$BC=3\sqrt {2}，$$∠ CBH_{1}=45°，$$∠ CH_{1}B=90°，$
∴$CH_{1}=BH_{1}=3.$
∵四边形$G_{1}T_{1}H_{1}C$是矩形，
∴$G_{1}T_{1}=CH_{1}=3，$$CG_{1}=AC=H_{1}T_{1}=6，$
∴$BT_{1}=9，$
∴在$Rt△ BG_{1}T_{1}$中，$BG_{1}=\sqrt {G_{1}T_{1}^2+BT_{1}^2}=\sqrt {3^2+9^2}=3\sqrt {10}.$
易知，$△ CDG_{1}≌△ AEC，$
∴$DG_{1}=EC，$
∴$CE+BD=DG_{1}+DB≥ BG_{1}=3\sqrt {10}，$
∴$CE+BD$的最小值为$3\sqrt {10}.$
