解：(1)
$\because$ 一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象经过点$A(-3,0)，$点$C(3,6)，$
$\therefore \begin{cases}-3m+n=0\\3m+n=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+3。$
(2) 作点$B$关于$x$轴的对称点$B'，$连接$CB'$交$x$轴于点$P，$此时$PB+PC$的值最小。
在$y=x+3$中，令$x=0，$得$y=3，$$\therefore B(0,3)，$则$B'(0,-3)。$
设直线$CB'$的解析式为$y=kx+b，$将$C(3,6)，$$B'(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}b=-3\\3k-3=6\end{cases}，$解得$\begin{cases}k=3\\b=-3\end{cases}$
$\therefore$ 直线$CB'$的解析式为$y=3x-3，$
令$y=0，$得$3x-3=0，$解得$x=1，$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1,0)。$
(3)
① 当$OC$为边时，四边形$OCFE$是矩形，此时
$EO⊥ OC。$
$\because$ 直线$OC$的解析式为$y=2x，$
$\therefore$ 直线$OE$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x，$
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x\\y=x+3\end{cases}，$解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}，$$\therefore E(-2,1)。$
$\because EO=CF，$$OE// CF，$$\therefore F(1,7)。$
② 当$OC$为对角线时，四边形$OE'CF'$是矩形，此时$OE'⊥ AC。$
$\because$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3，$$\therefore$ 直线$OE'$的解析式为$y=-x。$
联立$\begin{cases}y=-x\\y=x+3\end{cases}，$解得$\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{cases}，$$\therefore E'(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})。$
$\because OE'=CF'，$$OE'// CF'，$$\therefore F'(\frac{9}{2},\frac{9}{2})。$
综上所述，满足条件的点$F$的坐标为$(1,7)$或$(\frac{9}{2},\frac{9}{2})。$
