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解：$a÷\frac{a}{b}·\frac{b}{a}$

$=a·\frac{b}{a}·\frac{b}{a}$

$=\frac{b^2}{a}$

解：$\frac{3b^2}{16a}÷\frac{bc}{2a^2}·(-\frac{2a}{b})$

$=\frac{3b^2}{16a}·\frac{2a^2}{bc}·(-\frac{2a}{b})$

$=\frac{3ab}{8c}·(-\frac{2a}{b})$

$=-\frac{3a^2}{4c}$

解：$(x-2)÷(\frac{2}{x}-1)· x$

$=(x-2)÷(\frac{2-x}{x})· x$

$=(x-2)·\frac{x}{2-x}· x$

$=(x-2)·\frac{x}{-(x-2)}· x$

$=-x· x$

$=-x^2$

解：$\frac{1}{m+1}÷\frac{m^2-2m+1}{m^2-1}-\frac{2}{m-1}$

$=\frac{1}{m+1}÷\frac{(m-1)^2}{(m+1)(m-1)}-\frac{2}{m-1}$

$=\frac{1}{m+1}·\frac{(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}-\frac{2}{m-1}$

$=\frac{1}{m-1}-\frac{2}{m-1}$

$=\frac{1-2}{m-1}$

$=\frac{-1}{m-1}$

$=\frac{1}{1-m}$

解：$\frac{x}{x^2-1}÷(1-\frac{1}{x+1})$

$=\frac{x}{(x+1)(x-1)}÷(\frac{x+1-1}{x+1})$

$=\frac{x}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x}{x+1}$

$=\frac{x}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{x}$

$=\frac{1}{x-1}$

解：$(\frac{3a}{a-3}-\frac{a}{a+3})÷\frac{a}{a^2-9}$

$=(\frac{3a(a+3)-a(a-3)}{(a-3)(a+3)})·\frac{(a-3)(a+3)}{a}$

$=\frac{3a^2+9a-a^2+3a}{a}$

$=\frac{2a^2+12a}{a}$

$=2a+12$

解：$\frac{m}{m^2-4}÷(1+\frac{2}{m-2})$

$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}÷(\frac{m-2+2}{m-2})$

$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}÷\frac{m}{m-2}$

$=\frac{m}{(m+2)(m-2)}·\frac{m-2}{m}$

$=\frac{1}{m+2}$

解：$(\frac{3}{2-x}-x-2)÷\frac{x-1}{x^2-4x+4}$

$=(\frac{3}{2-x}-\frac{(x+2)(2-x)}{2-x})÷\frac{x-1}{(x-2)^2}$

$=\frac{3-(4-x^2)}{2-x}·\frac{(x-2)^2}{x-1}$

$=\frac{3-4+x^2}{-(x-2)}·\frac{(x-2)^2}{x-1}$

$=\frac{x^2-1}{-(x-2)}·\frac{(x-2)^2}{x-1}$

$=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-2)}·\frac{(x-2)^2}{x-1}$

$=-(x+1)(x-2)$

$=-x^2+2x-x+2$

$=-x^2+x+2$