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第115页

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$60°$

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$110°$

证明：$(2)$∵$△ ABC$的内角和为$180°，$

∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A。$

∵$BO，CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB，$

∴$∠ OBC=\frac {1}{2}∠ ABC，$$∠ OCB=\frac {1}{2}∠ ACB，$

∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=90°-\frac {1}{2}∠ A。$

∵$△ OBC$的内角和为$180°，$

∴$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(90°-\frac {1}{2}∠ A)$

$=90°+\frac {1}{2}∠ A$

解：$(1)$∵$AP，CP $分别平分$∠ BAD，∠ BCD，$

∴$∠ 1=∠ 2，$$∠ 3=∠ 4。$

∵易得$\begin {cases}∠ P+∠ 3=∠ 2+∠ B①\\∠ P+∠ 1=∠ 4+∠ D②\end {cases}，$

由①+②，得$2∠ P+∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4+∠ B+∠ D，$

即$2∠ P=∠ B+∠ D。$

∵$∠ B=36°，$$∠ D=16°，$

∴$2∠ P=36°+16°=52°，$

∴$∠ P=26°$

$ (2) $如图，

∵$AP $平分$△ ABO$的外角$∠ FAD，$$CP $平分$△ COD$的外角$∠ BCE，$

∴$∠ 1=∠ 2，$$∠ 3=∠ 4，$

∴$∠ PAD=180°-∠ 2，$$∠ PCD=180°-∠ 3。$

∵易得$∠ P+∠ PAD=∠ D+∠ PCD，$

∴$∠ P+(180°-∠ 2)=∠ D+(180°-∠ 3)，$

即$∠ P-∠ 2=∠ D-∠ 3①。$

∵易得$∠ P+∠ PAB=∠ B+∠ 4，$$∠ 1=∠ PAB，$

∴$∠ P+∠ 1=∠ B+∠ 4②。$

由①+②，得$2∠ P=∠ B+∠ D。$

∵$∠ B=m°，$$∠ D=n°，$

∴$∠ P=\frac {1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac {1}{2}×(m°+n°)=\frac {(m+n)}{2}°。$

∵$m-n=20，$$mn=300，$

∴$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=400+1200=1600=40^2，$

即$m+n=40($负值舍去$)，$

∴$∠ P=\frac {40°}{2}=20°$