解：$(1) $由旋转，可得$∠ DBE=∠ BAC。$
∵$∠ C=90°，$
∴$∠ BAC+∠ ABC=90°，$
∴$∠ DBE+∠ ABC=90°。$
∵点$B，$$C，$$E$在同一条直线上，
∴$∠ ABD=180°-∠ DBE-∠ CBA=180°-90°=90°$
$ (2) $由旋转，可得$DE=BC=a，$$BE=AC=b，$$BD=AB=c。$
方法一：梯形$ACED$的面积$=\frac {1}{2}(DE+AC)· EC=\frac {1}{2}(a+b)(a+b)。$
方法二：由旋转，得$S_{△ ABC}=S_{△ BDE}=\frac {1}{2}ab。$
$ $由$(1)$知，$∠ ABD=90°，$
∴$S_{△ ABD}=\frac {1}{2}AB· BD=\frac {1}{2}c^2，$
∴梯形$ACED$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ BDE}+S_{△ ABD}$
$=2×\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^2$
$=ab+\frac {1}{2}c^2。$
∴$\frac {1}{2}(a+b)(a+b)=ab+\frac {1}{2}c^2，$
∴$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2，$
∴$a^2+b^2=c^2$
$ (3) \frac {△ CPE的面积}{△ ABD的面积}$是定值。
由翻折，得$FE=DE=a，$$FC=AC=b，$
∴$BF=FC-BC=b-a。$
∵$EF· BE=BF^2，$
∴$ab=(b-a)^2，$
∴$3ab=a^2+b^2，$
∴$2ab=\frac {2}{3}(a^2+b^2)。$
∵$P $为$AD$的中点，
∴易得$S_{△ CPE}=\frac {1}{2}S_{梯形ACED}=\frac {1}{4}(a+b)^2，$
$ $又由$ (2)$知，$S_{△ ABD}=\frac {1}{2}c^2=\frac {1}{2}(a^2+b^2)，$
∴$\frac {△ CPE的面积}{△ ABD的面积}$
$=\frac {\frac {1}{4}(a+b)^2}{\frac {1}{2}c^2}$
$=\frac {a^2+2ab+b^2}{2c^2}$
$=\frac {\frac {5}{3}(a^2+b^2)}{2(a^2+b^2)}$
$=\frac {5}{6}$
