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解​$：(1)②$​如图​$① ∠AOC=90°−\frac {1}{2}∠B $​
∵​$CN，AM$​分别平分​$∠ACD，∠CAE，$​
∴​$∠ACO=\frac {1}{2}∠ACD，∠CAO=\frac {1}{2}∠CAE，$​
∴​$∠CAO+∠ACO=\frac {1}{2}(∠CAE+∠ACD).$​
∵​$∠ACD+∠CAE=∠B+180°，$​
∴​$∠CAO+∠ACO=\frac {1}{2}(∠B+180°).$​
∵在​$△AOC$​中，​$∠AOC+∠CAO+∠ACO=180°， $​
∴​$ ∠AOC=180°−\frac {1}{2}(∠B+180°)=90°−\frac {1}{2}∠B$​
​$(3)$​当​$∠ B=∠ ADC$​时，​$AM// CN$​
理由：如图②，延长​$CD$​交​$AM$​于点​$G，$​
∵​$CN，AM$​分别平分​$∠ DCF，∠ DAE，$​
∴​$∠ DCN=\frac {1}{2}∠ DCF，$​​$∠ DAM=\frac {1}{2}∠ DAE，$​
∴​$∠ DCN+∠ DAM=\frac {1}{2}(∠ DCF+∠ DAE)。$​
∵​$∠ DCF+∠ DAE=∠ B+∠ ADC，$​
∴​$∠ DCN+∠ DAM=\frac {1}{2}(∠ B+∠ ADC)。$​
∵​$∠ B=∠ ADC，$​
∴​$∠ DCN+∠ DAM=∠ ADC。$​
∵​$∠ AGC+∠ DAM=∠ ADC，$​
∴​$∠ DCN=∠ AGC，$​
∴​$AM// CN。$​
证明：​$(1)$​∵​$3m+n=\frac {b}{a}，$​​$mn=\frac {c}{a}，$​
∴​$b=a(3m+n)，$​​$c=amn，$​
∴​$b^2-12ac=[a(3m+n)]^2-12a^2mn=a^2(9\ \mathrm {m^2}+6mn+n^2)-12a^2mn$​
​$=a^2(9\ \mathrm {m^2}-6mn+n^2)=a^2(3m-n)^2。$​
∵任意一个数的平方是非负数，
∴​$a^2(3m-n)^2≥0，$​
∴​$b^2-12ac $​为非负数。
​$ (2)\ \mathrm {m}，n$​不可以都为整数，理由：
​$ $​假设​$m，n$​都为整数，则可能的情况如下：
​$① m，n$​都为奇数；​$② m，n$​为整数，且其中至少有一个为偶数。
​$ ① $​当​$m，n$​都为奇数时，​$3m+n$​必为偶数。
又∵​$b=a(3m+n)，$​​$a$​为奇数，
∴​$a(3m+n)$​必为偶数，这与​$b$​为奇数矛盾。
​$ ② $​当​$m，n$​为整数，且其中至少有一个为偶数时，​$mn$​必为偶数。
又∵​$c=amn，$​​$a$​为奇数，
∴​$amn$​必为偶数，这与​$c $​为奇数矛盾。
综上所述，假设不成立，​$m，n$​不可以都为整数。
解：​$(1)$​设​$∠ B=3k，$​则​$∠ C=5k。$​
​$ $​在​$△ ABC$​中，
∵​$∠ BAC=100°，$​​$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°，$​
∴​$∠ B+∠ C=80°，$​即​$8k=80°，$​
∴​$k=10°，$​
∴​$∠ B=30°，$​​$∠ C=50°。$​
∵​$∠ ADB$​是​$△ ACD$​的外角，
∴​$∠ ADB=∠ C+∠ CAD。$​
∵​$∠ ADB=90°，$​
∴​$∠ CAD=90°-50°=40°。$​
​$ (2) ① 40°＜∠ CAD＜50°$​
​$ ② ∠ BAM+∠ BDM=20°$​
证明：如图①，延长​$AM$​交​$BC$​于点​$N，$​
由翻折，可知​$∠ AMD=∠ C=50°，$​
∵​$∠ AMD$​是​$△ MND$​的外角，
∴​$∠ AMD=∠ AND+∠ BDM。$​
∵​$∠ AND$​是​$△ ABN$​的外角，
∴​$∠ AND=∠ BAM+∠ B，$​
∴​$∠ AMD=∠ BAM+∠ B+∠ BDM，$​
∴​$∠ BAM+∠ BDM=∠ AMD-∠ B=50°-30°=20°。$​
​$ (3) $​∵​$α：β=2：3，$​
∴设​$α=2x，$​​$β=3x。$​
如图②，当射线​$AD$​与射线​$BC'$​交于点​$P $​时，
​$ ∠ BPD=180°-∠ BAD-∠ ABP=180°-2x°-(3x°+30°)$​
​$=150°-5x°，$​
​$ $​且​$∠ BPD＜120°，$​
∴​$150°-5x°＜120°，$​
∴​$x＞6，$​
∴​$α＞12。$​
如图③，当射线​$DA$​与射线​$C'B$​交于点​$P $​时，
​$ ∠ ABP=180°-∠ ABC-∠ CBC'=150°-3x°，$​
∵​$∠ BPD=∠ BAD-∠ ABP=2x°-(150°-3x°)=5x°-150°，$​
​$ $​且​$∠ BPD＜120°，$​
∴​$5x°-150°＜120°，$​
∴​$x＜54，$​
∴​$α＜108。$​
​$ $​当直线​$AD$​与直线​$BC'$​平行时，​$∠ BAD+∠ ABC'=180°，$​
​$ 2x°+3x°+30°=180°，$​
∴​$x=30，$​
∴​$α=60。$​
∵​$AD，BC'$​所在直线相交于点​$P，$​
∴​$α≠60。$​
又∵点​$D$​从点​$B$​运动到点​$C$​处停止，
∴​$0≤α≤100，$​
∴​$12＜α≤100$​且​$α≠60。$​
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