解：$(1)$设裁切甲广告牌$x$块，乙广告牌$y$块，
$ $依题意得$\begin {cases} 15x+35y=240 \\x=3y \end {cases}，$
$ $解得$\begin {cases} x=9 \\y=3 \end {cases}，$
答：裁切甲广告牌$9$块，乙广告牌$3$块。
$ (2) $设$1$块$KT$板可裁切甲广告牌$m_{块}，$乙广告牌$n$块，
$ $根据题意得$15m+35n=240，$
$ $可得$m=16-\dfrac {7}{3}n，$
$ $因为$m，n$为非负整数，
$ $所以$\begin {cases}\ \mathrm {m}=16 \\n=0 \end {cases}$或$\begin {cases}\ \mathrm {m}=9 \\n=3 \end {cases}$或$\begin {cases}\ \mathrm {m}=2 \\n=6 \end {cases}，$
所以有以下三种裁切方案：
$ $方案$1$：裁切甲广告牌$16$块，乙广告牌$0$块；
$ $方案$2$：裁切甲广告牌$9$块，乙广告牌$3$块；
$ $方案$3$：裁切甲广告牌$2$块，乙广告牌$6$块。
$ (3) $依题意分析可得甲广告牌需$500$块，
乙广告牌需$500-488=12$块，
$ $设使用第$ (2)$题的三种方案分别为$x，y，z$块$KT$板，
$ $则$\begin {cases} 16x+9y+2z=500\\3y+6z=12 \end {cases}，$
$ $由$②$得$y=4-2z，$代入①，化简得$x-z=29，$
$ $因为$x，y，z$均为自然数，则有以下可能：
$ $当$z=0$时，
解得$y=4，x=29，$$0+4+29=33($块$)；$
$ $当$z=1$时，
解得$y=2，x=30，$$1+2+30=33($块$)；$
$ $当$z=2$时，
解得$y=0，x=31，$$2+0+31=33($块$)。$
$ $所以还需要购买该型号板材$33$块，裁切方式为：
$ $把其中的$29$块按$(2)$中方案$1$裁切，$4$块按方案$2$裁切；
$ $或把其中$30$块按方案$1$裁切，$2$块按方案$2$裁切，
$1$块按方案$3$裁切；
$ $或把其中$31$块按方案$1$裁切，$2$块按方案$3$裁切
