解：(2)$\begin{cases}1≤ x≤3&①\\ax-3＜\dfrac{1}{2}x+2&②\end{cases}$
解不等式②得：$(2a-1)x＜10。$
当$2a-1＞0，$即$a＞\dfrac{1}{2}$时，$x＜\dfrac{10}{2a-1}，$
因为不等式组的“长度”$d=2，$$3-1=2，$
所以$\dfrac{10}{2a-1}≥3，$
解得$a≤\dfrac{13}{6}，$
所以$\dfrac{1}{2}＜a≤\dfrac{13}{6}；$
当$2a-1＜0，$即$a＜\dfrac{1}{2}$时，$x＞\dfrac{10}{2a-1}，$
因为$d=2，$所以$\dfrac{10}{2a-1}≤1，$解得$a≤\dfrac{11}{2}，$
所以$a＜\dfrac{1}{2}；$
当$a=\dfrac{1}{2}$时，不等式②变为$-3＜\dfrac{1}{2}x+2，$
即$x＞-10，$
此时不等式组的解集为$1≤ x≤3，$
“长度”$d=2，$满足题意。
综上，$a$的取值范围是$a≤\dfrac{13}{6}。$
$ (3)$解：存在。
分情况讨论：
①当$a≤1＜3≤\dfrac{1}{2}a+2$时，此情况不存在；
②当$a≤1＜\dfrac{1}{2}a+2≤3$时，不等式组的解集
为$1≤ x≤\dfrac{1}{2}a+2，$
因为$d=\dfrac{3}{2}，$所以$\dfrac{1}{2}a+2-1=\dfrac{3}{2}，$解得$a=1；$
③当$1≤ a＜\dfrac{1}{2}a+2≤3$时，不等式组的解集
为$a≤ x≤\dfrac{1}{2}a+2，$
因为$d=\dfrac{3}{2}，$所以$\dfrac{1}{2}a+2-a=\dfrac{3}{2}，$解得$a=1；$
④当$1≤ a＜3≤\dfrac{1}{2}a+2$时，不等式组的解集
为$a≤ x≤3，$
因为$d=\dfrac{3}{2}，$所以$3-a=\dfrac{3}{2}，$解得$a=\dfrac{3}{2}，$
此时$\dfrac{1}{2}a+2=\dfrac{11}{4}＜3，$不符合条件，舍去。
综上，$a=1。$
将$a=1$代入关于$y$的不等式组得$\begin{cases}y+1＞m\\y-1≤2m\end{cases}，$
解得$m-1＜y≤2m+1，$
因为不等式组恰有4个“整点”，
所以$2m+1-(m-1)=m+2，$
则$3＜m+2＜5，$即$1＜m＜3，$
分两种情况：
当$1＜m＜2$时，$0＜m-1＜1，$
则$4≤2m+1＜5，$解得$\dfrac{3}{2}≤ m＜2；$
当$2≤ m＜3$时，$1≤ m-1＜2，$
则$5≤2m+1＜6，$解得$2≤ m＜\dfrac{5}{2}；$
综上，$m$的取值范围是$\dfrac{3}{2}≤ m＜\dfrac{5}{2}。$
