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解：(1)设老师有$ x $人，学生有$ y $人，依题意得
$\begin{cases}14x+10=y \\15x-6=y \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=16 \\y=234 \end{cases}$
答：参加研学活动的老师有​$16$​人，学生有​$234$​人。
(3)设租甲型客车$ m $辆，则租乙型客车$ (8-m) $辆，
依题意得
$\begin{cases}35m+30(8-m) ≥ 234+16 \\400m+320(8-m) ≤ 3000 \end{cases}$
解得$ 2 ≤ m ≤ 5\frac{1}{2} 。$
因为$ m $为正整数，
所以$ m=2,3,4,5 ，$共4种方案。
设总费用为$ w $元，
则$ w=400m+320(8-m)=80m+2560 。$
因为$ 80＞0 ，$
所以$ w $随$ m $增大而增大，
当$ m=2 $时，$ w $最小，为$ 80×2+2560=2720 $元。
答：学校共有​$4$​种租车方案，最少租车费用是​$2720$​元。
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解：​$(2)$​设制作横式箱子​$ x $​个，竖式箱子​$ (50-x) $​个，
依题意得
​$ \begin {cases}2x+(50-x) ≤ 70 \\3x+4(50-x) ≤ 182 \end {cases}$​
​$ $​解得​$ 18 ≤ x ≤ 20 。$​
因为​$ x $​为整数，
所以​$ x=18，19，20 ，$​三种方案：
方案一：横式​$18$​个，竖式​$32$​个；
方案二：横式​$19$​个，竖式​$31$​个；
方案三：横式​$20$​个，竖式​$30$​个。
​$(3)$​设制作横式箱子​$ a $​个，竖式箱子​$ b $​个，
依题意得
​$ \begin {cases}2a+b=100 \\3a+4b=m \end {cases}$​
​$ $​由第一个方程得​$ b=100-2a ，$​
代入第二个方程得​$ m=3a+4(100-2a)$​
​$=400-5a 。$​
​$ $​因为​$ 220＜m＜232 ，$​
所以​$ 220＜400-5a＜232 ，$​
解得​$ 33.6＜a＜36 。$​
​$ $​因为​$ a $​为整数，
所以​$ a=34，35 。$​
​$ $​当​$ a=34 $​时，​$ m=400-5×34=230 ；$​
​$ $​当​$ a=35 $​时，​$ m=400-5×35=225 。$​
答：​$ m $​的可能取值为​$225$​和​$230。$​
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