解:(2)因为$(a,3)$为“美好组”,
根据定义可得$a+3=3a,$
移项得:$3a - a = 3,$
即$2a=3,$
解得$a=\frac{3}{2}。$
(3)解方程组$\begin{cases}x-2y=m-9 \\2x+y=2m-7\end{cases}$
由$2x+y=2m-7$得$y=2m-7-2x,$
将其代入$x-2y=m-9$:
$x-2(2m-7-2x)=m-9,$
$x-4m+14+4x=m-9,$
$5x=5m-23,$
解得$x=m-\frac{23}{5},$
将$x=m-\frac{23}{5}$代入$y=2m-7-2x,$得$y=\frac{11}{5}。$
若$(x,y)$是“美好组”,则$x+y=xy,$
代入$x=m-\frac{23}{5},$$y=\frac{11}{5}$:
$m-\frac{23}{5}+\frac{11}{5}=(m-\frac{23}{5})×\frac{11}{5},$
$m-\frac{12}{5}=\frac{11}{5}m-\frac{253}{25},$
$\frac{11}{5}m - m=\frac{253}{25}-\frac{60}{25},$
$\frac{6}{5}m=\frac{193}{25},$
解得$m=\frac{193}{30}。$
所以当$m=\frac{193}{30}$时,$(x,y)$是“美好组”。