第152页

信息发布者：
$\boldsymbol{α°}$或$\boldsymbol{180° - α°}$
40
$\boldsymbol{76°}$或$\boldsymbol{92°}$
解：​$(3)$​因为​$∠ BPC=140°，$​
所以​$∠ PBC+∠ PCB=180° - ∠ BPC$​
​$=180° - 140°$​
​$=40°。$​
​$ $​因为​$BP，CP{分别是}∠ ABC$​的​$“$​邻​$BC$​三分线​$”$​
和​$∠ ACB$​的​$“$​邻​$BC$​三分线​$”，$​
​$ $​所以​$∠ PBC=\frac {1}{3}∠ ABC，$​​$∠ PCB=\frac {1}{3}∠ ACB，$​
​$ $​所以​$\frac {1}{3}∠ ABC+\frac {1}{3}∠ ACB=40°，$​
即​$∠ ABC+∠ ACB=120°。$​
​$ $​所以​$∠ A=180° - (∠ ABC+∠ ACB)=180° - 120°=60°。$​
​$ (4) ∠ BPC$​的度数是​$\boldsymbol {\frac {2}{3}m°}$​或​$\boldsymbol {\frac {2m° + n°}{3}}$​或​$\boldsymbol {\frac {m° - n°}{3}}$​或​$\boldsymbol {\frac {n° - m°}{3}}$​或​$\boldsymbol {\frac {1}{3}m°}。$​
解：​$(1)$​在四边形​$ABCD$​中，
​$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ ADC=360°，$​
所以​$∠ ABC+∠ ADC=360° - (α+β)。$​
因为​$∠ MBC+∠ ABC=180°，$​​$∠ NDC+∠ ADC=180°$​
所以​$∠ MBC+∠ NDC=180° - ∠ ABC+180° - ∠ ADC$​
​$=360° - (∠ ABC+∠ ADC)$​
​$=360° - [360° - (α+β)]$​
​$=α+β。$​
​$(2) \boldsymbol {β - α=90°}，$​理由如下：
如图①，连接​$BD，$​
由​$(1)$​知，​$∠ MBC+∠ NDC=α+β，$​
因为​$BE，DF $​分别平分四边形的外角​$∠ MBC$​和​$∠ NDC，$​
所以​$∠ CBG=\frac {1}{2}∠ MBC，$​​$∠ CDG=\frac {1}{2}∠ NDC，$​
所以​$∠ CBG+∠ CDG=\frac {1}{2}∠ MBC+\frac {1}{2}∠ NDC$​
​$=\frac {1}{2}(∠ MBC+∠ NDC)$​
​$=\frac {1}{2}(α+β)。$​
在​$△ BCD$​中，​$∠ BDC+∠ CBD=180° - ∠ BCD$​
​$=180° - β，$​
在​$△ BDG{中}，$​​$∠ BGD=45°，$​
​$∠ GBD+∠ GDB+∠ BGD=180°，$​
所以​$∠ CBG+∠ CBD+∠ CDG+∠ BDC+∠ BGD$​
​$=180°，$​
即​$(∠ CBG+∠ CDG)+(∠ CBD+∠ BDC)+∠ BGD$​
​$=180°，$​
所以​$\frac {1}{2}(α+β)+180° - β+45°=180°，$​
整理得​$β - α=90°。$​
​$(3) \boldsymbol {BE// DF}，$​理由如下：
如图②，延长​$BC$​交​$DF $​于点​$H，$​
由​$(1)$​知，​$∠ MBC+∠ NDC=α+β，$​
因为​$BE，DF $​分别平分四边形的外角​$∠ MBC$​和​$∠ NDC，$​
所以​$∠ CBE=\frac {1}{2}∠ MBC，$​​$∠ CDH=\frac {1}{2}∠ NDC，$​
所以​$∠ CBE+∠ CDH=\frac {1}{2}∠ MBC+\frac {1}{2}∠ NDC$​
​$=\frac {1}{2}(∠ MBC+∠ NDC)=\frac {1}{2}(α+β)。$​
因为​$∠ BCD+∠ DCH=180°，$​
​$∠ CDH+∠ DHB+∠ DCH=180°，$​
所以​$∠ BCD=∠ CDH+∠ DHB，$​
即​$∠ CDH=∠ BCD - ∠ DHB=β - ∠ DHB，$​
所以​$∠ CBE+β - ∠ DHB=\frac {1}{2}(α+β)。$​
因为​$α=β，$​所以​$∠ CBE+β - ∠ DHB=\frac {1}{2}(β+β)=β，$​
所以​$∠ CBE=∠ DHB，$​故​$BE// DF。$
​
上一页 下一页