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第96页

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$\frac{4051}{2}$

证明：左边$=\frac {(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)}=\frac {n^2+2n+1 -n^2-2n}{n(n+1)}=\frac {1}{n(n+1)}，$

$ $右边$=\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}=\frac {(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac {1}{n(n+1)}，$

$ $左边$=$右边，故$\frac {n+1}{n}-\frac {n+2}{n+1}=\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}。$

$＞$

解：$(2)$分式的值增大了

理由如下：

$\frac {a}{b}-\frac {a+1}{b+1}=\frac {a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}=\frac {a-b}{b(b+1)}，$

∵$b＞a＞0，$

∴$a-b＜0，$$b(b+1)＞0，$则$\frac {a-b}{b(b+1)}＜0，$即$\frac {a}{b}＜\frac {a+1}{b+1}，$

∴所得分式的值增大了

$ (3)$不等式：$\frac {a}{b}＜\frac {a+c}{b+c}(b＞a＞0，$$c＞0)。$

证明：$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}{b}=\frac {b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac {bc-ac}{b(b+c)}=\frac {c(b-a)}{b(b+c)}，$

∵$b＞a＞0，$$c＞0，$

∴$b-a＞0，$$b(b+c)＞0，$则$\frac {c(b-a)}{b(b+c)}＞0，$即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}{b}＞0，$

∴$\frac {a}{b}＜\frac {a+c}{b+c}。$

$ 10m+10n$

$\frac{2mn}{m+n}$

解：乙的购买方式更合算。

甲的平均单价为$\frac {10m+10n}{20}=\frac {m+n}{2}，$

$ $乙的平均单价为$\frac {2mn}{m+n}，$

∴$\frac {m+n}{2}-\frac {2mn}{m+n}=\frac {(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac {(m-n)^2}{2(m+n)}，$

∵$m≠ n，$$m＞0，$$n＞0，$

∴$(m-n)^2＞0，$$2(m+n)＞0，$则$\frac {(m-n)^2}{2(m+n)}＞0，$即$\frac {m+n}{2}＞\frac {2mn}{m+n}，$

∴乙的购买方式更合算。

$P＜M＜N$