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解：$\frac {1}{a}-\frac {1}{a-b}=\frac {(a-b)-a}{a(a-b)}=\frac {-b}{a(a-b)}，$

∵$a＞b＞0，$

∴$a-b＞0，$则$a(a-b)＞0，$$-b＜0，$

∴$\frac {-b}{a(a-b)}＜0，$即$\frac {1}{a}-\frac {1}{a-b}＜0，$

∴$\frac {1}{a}＜\frac {1}{a-b}$

证明：$(1)$∵$\frac {1}{x+2}-\frac {1}{x+3}=\frac {1}{(x+2)(x+3)}，$$\frac {1}{x+2}×\frac {1}{x+3}=\frac {1}{(x+2)(x+3)}，$

∴$\frac {1}{x+2}-\frac {1}{x+3}=\frac {1}{x+2}×\frac {1}{x+3}，$

∴分式$\frac {1}{x+3}$是$\frac {1}{x+2}$的$“$分裂分式$”。$

$(2)A=\frac {2x+3}{x+1}$

∵整数$x$使得分式$A$的值是正整数，$A=\frac {2x+3}{x}=2+\frac {3}{x}$

∴$x=1$时，$A=5；$

$x=3$时，$A=3；$

$x=-3$时，$A=1。$

$M=N$