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 解：

 (1) 根据题意，得$AB=A'B'=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}，$$∠ ABO=60°，$$∠ AOB=90°。$

 $\therefore ∠ OAB=30°，$$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}。$

 (2) 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理，得$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=9\ \mathrm{m}。$

 $\because AA'=1\ \mathrm{m}，$$\therefore OA'=OA-AA'=8\ \mathrm{m}。$

 在$\mathrm{Rt}△ A'OB'$中，由勾股定理，得$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=2\sqrt{11}\ \mathrm{m}。$

 $\therefore BB'=OB'-OB=(2\sqrt{11}-3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$

 解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D。$设$BD=x$米，则$CD=(14-x)$米。

 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2；$

 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AC^2-CD^2，$

 $\therefore AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，$即$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2，$解得$x=5。$

 $\therefore BD=5$米，$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$（米）。

 $\therefore$ 该小区修建这个花园大约需要$25×(\frac{1}{2}×14×12)=2100$（元）。

 答：该小区修建这个花园大约需要2100元。

 解：

 (1) $\because AB⊥ AC，$$\therefore ∠ BAC=90°。$

 $\because AB=13\ \mathrm{m}，$$AC=20\ \mathrm{m}，$

 $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{569}\ \mathrm{m}。$

 $\therefore$ 固定点$B,C$之间的距离为$\sqrt{569}\ \mathrm{m}。$

 (2) 根据题意，设$BD=x\ \mathrm{m}，$则$CD=(21-x)\ \mathrm{m}。$

 $\because AD⊥ BC，$$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2；$

 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AC^2-CD^2，$

 $\therefore AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，$即$13^2-x^2=20^2-(21-x)^2，$

解得$x=5。$

 $\therefore BD=5\ \mathrm{m}，$$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{m})。$

 $\therefore$ 主梁$AD$的高度为$12\ \mathrm{m}。$