解：$(1)$如图$①，$将正方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，
连接$AC_{1}，$最短路程就是线段$AC_{1}$的长。
由题意，得$AB=BC=CC_{1}=5\ \mathrm {cm}。$
∴$AC=10\ \mathrm {cm}。$在$Rt△ ACC_{1}$中，
由勾股定理，得$AC_{1}=\sqrt {AC^2+CC_{1}^2}=5\sqrt {5}\mathrm {cm}。$
答：蚂蚁需要爬行的最短路程为$5\sqrt {5}\mathrm {cm}。$
$ (2)$情况一：如图②，将长方体的“前面”和“右面”展开在同一平
面上，连接$AC_{1}。$由题意，
得$AB=BC=5\ \mathrm {cm}，$$CC_{1}=6\ \mathrm {cm}。$∴$AC=10\ \mathrm {cm}。$
在$Rt△ ACC_{1}$中，由勾股定理，
得$AC_{1}=\sqrt {AC^2+CC_{1}^2}=2\sqrt {34}\mathrm {cm}。$
情况二：如图③，将长方体的“前面”和“上面”展开在同一平
面上，连接$AC_{1}。$
由题意，得$A_{1}D_{1}=C_{1}D_{1}=5\ \mathrm {cm}，$$AA_{1}=6\ \mathrm {cm}。$
∴$AD_{1}=11\ \mathrm {cm}。$
在$Rt△ AC_{1}D_{1}$中，由勾股定理，
得$AC_{1}=\sqrt {AD_{1}^2+C_{1}D_{1}^2}=\sqrt {146}\mathrm {cm}。$
情况三：如图④，将长方体的“下面”和“右面”展开在同一平面上，
连接$AC_{1}。$由题意，得$B_{1}B=6\ \mathrm {cm}，$$B_{1}C_{1}=AB=5\ \mathrm {cm}。$
∴$AB_{1}=11\ \mathrm {cm}。$在$Rt△ AB_{1}C_{1}$中，由勾股定理，
得$AC_{1}=\sqrt {B_{1}C_{1}^2+AB_{1}^2}=\sqrt {146}\mathrm {cm}。$
∵$2\sqrt {34}＜\sqrt {146}，$∴蚂蚁需要爬行的最短路程为$2\sqrt {34}\mathrm {cm}。$
