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(1) 证明：如图，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D.$
$\because AB=AC，$$AD⊥ BC，$$\therefore ∠ ADB=90°，$$BD=\frac{1}{2}BC=2.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4.$
$\therefore AD=BC，$即$△ ABC$是“美丽三角形”.
(2) 解：分别作边$AC，$$BC$上的中线$BD，$$AE.$
当边$AC$上的中线$BD$的长等于$AC$的长时，$BD=AC=4\sqrt{3}，$$CD=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}.$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=6.$
当边$BC$上的中线$AE$的长等于$BC$的长时，$AE=BC，$$CE=\frac{1}{2}BC.$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE^2-CE^2=AC^2，$即$BC^2-(\frac{1}{2}BC)^2=(4\sqrt{3})^2.$
$\therefore BC=8.$
综上所述，$BC$的长是6或8

解：延长$AE$交$BC$于点$F.$
$\because AB⊥ BC，$$AB⊥ AD，$$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°.$
$\therefore AD// BC，$$\therefore ∠ D=∠ C.$
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE=CE.$
又$\because ∠ AED=∠ FEC，$$\therefore △ EAD≌△ EFC.$
$\therefore AE=FE=\frac{1}{2}AF，$$AD=FC=5.$
$\therefore BF=BC-FC=10-5=5.$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理，
得$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.$
$\therefore AE=\frac{1}{2}AF=\frac{13}{2}$

​$ (1) $​解：农场​$A$​会受到台风的影响​$.$​
理由：如图，过点​$A$​作​$AH⊥ BC$​于点​$H.$​
∵​$AB⊥ AC，$​∴​$∠ BAC=90°.$​
​$ $​在​$Rt△ ABC$​中，由勾股定理，
得​$BC=\sqrt {AC^2+AB^2}=\sqrt {300^2+400^2}=500(\mathrm {km}).$​
∵​$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}BC· AH=\frac {1}{2}AB· AC，$​
∴​$AH=\frac {AB· AC}{BC}=\frac {400×300}{500}=240(\mathrm {km}).$​
∵​$240＜250，$​∴在台风移动的过程中，农场​$A$​会受到台风的影响​$.$​
​$ (2) $​解：如图，设台风中心移动到点​$M$​处开始影响该农场，到点​$N$​处结束影响该农场​$.$​
​$ $​连接​$AN，$​​$AM，$​则​$AM=AN=250\ \mathrm {km}.$​
∵​$AM=AN，$​​$AH⊥ BC，$​∴​$MH=NH.$​
​$ $​在​$Rt△ AHM$​中，由勾股定理，得​$MH=\sqrt {250^2-240^2}=70(\mathrm {km})，$​
∴​$MN=2×70=140(\mathrm {km}).$​
∵台风中心的移动速度为​$20\ \mathrm {km/h}，$
​∴台风影响该农场的时长为​$140÷20=7(\mathrm {h})$​
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