证明: 任务二：
$ (1)$∵$AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ ACB$。
∵$∠ BCD=90°$，$E$为$BD$的中点，
∴$EC=EB=\frac {1}{2}BD$，
∴$∠1=∠2$，
∴$∠ ABC-∠1=∠ ACB-∠2$，
∴$∠ ABD=∠ ACE$。
$ (2)$∵四边形$ABCD$是$“$垂等四边形$”$，
∴$AC=BD$，$AC⊥ BD$。
∵点$E$，$F $分别是$BD$，$AD$的中点，
∴$EF// AB$，$EF=\frac {1}{2}AB$。
∵$AB=AC$，
∴$AB=DB$，
∴$∠3=∠5$。
$ $由上已证$EC=\frac {1}{2}BD$，
∴$EF=EC$。
∵四边形$CEFG $为平行四边形，
∴四边形$CEFG $是菱形。
∵$∠3=∠5$，$∠5=∠4$，
∴$∠3=∠4$。
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠4+∠6=∠3+∠6=∠ FEC=90°$，
∴四边形$CEFG $是正方形。
任务三：
连接$AC$，$AE$，分别交$BD$于点$M$，$N$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AM=CM$，$∠ BAD=90°$。
∵将$△ ABD$沿对角线翻折至$△ EBD$，
∴$AN=NE$，$∠ BED=∠ BAD=90°$，
$AB=BE$，$DE=AD$。
∵$MN$是$△ AEC$的中位线，
∴$BF// CE$。
∵$BF=CE$，
∴四边形$BECF $是平行四边形，
∴$BE// CF$，$BE=CF$。
∵$∠ BED=90°$，即$BE⊥ DE$，
∴$CF⊥ DG$。
∵$AD=2AB$，
设$AB=x$，则$BE=CF=x$，$DE=AD=2x$，
∵点$G $为$DE$的中点，
∴$DG=x$。
∴$DG=CF$，
∴四边形$CDFG $是$“$垂等四边形$”$。
