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信息发布者：
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解：​$(2)$猜想：​
当$1≤ n≤2$（$n$为整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^{n}；$
当$n＞2$（$n$为整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^{n}。$
2
0
-2
解：(2)
​$ ① (8，1000)-(32，100000)=(2³，$​​$10³)-(2^5，$​​$10^5)=(2，10)-(2，10)=0$​
​②设​$(3，4)=x，(3，5)=y，$​
因为​$3^{x}=4，3^{y}=5，$​
所以​$3^{x}·3^{y}=20.$​
所以​$3^{x+y}=20.$​
因为​$(3，20)=x+y，$​
所以​$(3，4)+(3，5)=(3，20)$​
∴等式成立
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