（1）证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=CD，$$∠ A=∠ DCQ=90°，$$∠ ADC=90°，$
$\because ∠ PDQ=90°，$
$\therefore ∠ ADP+∠ PDC=∠ CDQ+∠ PDC=90°，$
$\therefore ∠ ADP=∠ CDQ，$
在$△ ADP$和$△ CDQ$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ DCQ \\AD=CD \\∠ ADP=∠ CDQ\end{cases}$
$\therefore △ ADP≌△ CDQ$（ASA），
$\therefore DP=DQ。$
（2）结论：$PE=QE。$
证明：
$\because DE$平分$∠ PDQ，$
$\therefore ∠ PDE=∠ QDE，$
在$△ PDE$和$△ QDE$中，
$\begin{cases}DP=DQ \\∠ PDE=∠ QDE \\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ PDE≌△ QDE$（SAS），
$\therefore PE=QE。$
（3）解：
$\because AB:AP=3:4，$$AB=6，$
$\therefore AP=8，$$BP=AP-AB=2，$
由（1）知$△ ADP≌△ CDQ，$
$\therefore CQ=AP=8，$
设$CE=x，$由（2）知$PE=QE，$
$\because PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{2^2+(6+x)^2}，$$QE=CQ-CE=8-x，$
$\therefore \sqrt{4+(6+x)^2}=8-x，$
两边平方得：$4+(6+x)^2=(8-x)^2，$
展开得：$4+36+12x+x^2=64-16x+x^2，$
整理得：$28x=24，$解得$x=\frac{6}{7}，$
$\therefore DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{6^2+(\frac{6}{7})^2}=\frac{30\sqrt{2}}{7}，$
$\because DP=\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10，$$∠ PDE=45°，$
$\therefore S_{△ DEP}=\frac{1}{2}· DP· DE·\sin45°=\frac{1}{2}×10×\frac{30\sqrt{2}}{7}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{150}{7}。$
