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第144页

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 (2) 解：当$∠ B+∠ D=180°$时，仍有$EF=BE+DF。$

 证明：将$△ ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ ADG，$

 则$AE=AG，$$BE=DG，$$∠ BAE=∠ DAG，$$∠ B=∠ ADG。$

 ∵$∠ B+∠ ADC=180°$

 ∴$∠ ADG+∠ ADC=180°，$即点$G$、$D$、$F$三点共线。

 ∵$∠ EAF=45°，$$∠ BAD=90°$

 ∴$∠ BAE+∠ DAF=90°-45°=45°$

 ∴$∠ DAG+∠ DAF=45°，$即$∠ GAF=∠ EAF。$

 在$△ AFE$和$△ AFG$中，

 $\begin{cases}AE=AG\\∠ EAF=∠ GAF\\AF=AF\end{cases}$

 ∴$△ AFE≌△ AFG(SAS)$

 ∴$EF=FG=DG+DF=BE+DF。$

 (3) 猜想：$BD^2+EC^2=DE^2。$

 证明：将$△ ABD$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ ACG，$连接$EG，$

 则$AD=AG，$$BD=CG，$$∠ BAD=∠ CAG，$$∠ B=∠ ACG。$

 ∵$∠ BAC=90°，$$AB=AC$

 ∴$∠ B=∠ ACB=45°$

 ∴$∠ ACG=45°，$$∠ ECG=∠ ACB+∠ ACG=45°+45°=90°。$

 ∵$∠ DAE=45°$

 ∴$∠ BAD+∠ EAC=90°-45°=45°$

 ∴$∠ CAG+∠ EAC=45°，$即$∠ GAE=∠ DAE。$

 在$△ ADE$和$△ AGE$中，

 $\begin{cases}AD=AG\\∠ DAE=∠ GAE\\AE=AE\end{cases}$

 ∴$△ ADE≌△ AGE(SAS)$

 ∴$DE=EG。$

 在$Rt△ ECG$中，由勾股定理得：

 $EG^2=EC^2+CG^2$

 ∵$BD=CG，$$DE=EG$

 ∴$BD^2+EC^2=DE^2。$

 解：

 (1) 设经过$t$秒，四边形$PQCD$是平行四边形

 ∵四边形$PQCD$是平行四边形

 ∴$PD=CQ$

 ∵$PD=24-t，$$CQ=3t$

 ∴$24-t=3t$

 解得：$t=6$

 答：经过6秒，四边形$PQCD$是平行四边形。

 (2) 设经过$t$秒，四边形$PQCD$是等腰梯形

 过点$D$作$DF⊥ BC$于$F，$过点$P$作$PE⊥ BC$于$E$

 则$CF=BC-AD=26-24=2，$$QE=CF=2$

 ∴$CQ=PD+2CF$

 即$3t=(24-t)+2×2$

 $3t=28-t$

 $4t=28$

 解得：$t=7$

 答：经过7秒，四边形$PQCD$成为等腰梯形。

$△ AFG$

$FG$