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A
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$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB// CD，$​​$AB=CD。$​∴​$∠ GAE=∠ HCF。$​
∵​$G，H$​分别是​$AB，CD$​的中点，
∴​$AG=\frac {1}{2}AB，$​​$CH=\frac {1}{2}CD。$​
∴​$AG=CH。$​
又∵​$AE=CF，$​∴​$△ AGE≌△ CHF。$​
∴​$GE=HF，$​​$∠ AEG=∠ CFH。$​
∴​$∠ GEF=∠ HFE。$​∴​$GE// HF。$​
又∵​$GE=HF，$​∴四边形​$EGFH$​是平行四边形
​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$OA=OC，$​​$OB=OD。$
​∵​$BD=10，$​​$AE=CF，$​
∴​$OB=OD=5，$​​$OE=OF。$
​∵​$AE+CF=EF，$​∴​$2AE=EF=2OE。$​
∴​$AE=OE。$​
又∵​$G $​是​$AB$​的中点，
∴​$EG $​是​$△ ABO$​的中位线。
∴​$EG=\frac {1}{2}OB=2.5。$​
∴​$EG $​的长为​$2.5$​
​$ (1)$​证明：∵​$P，N$​分别是​$BD，AB$​的中点，
∴​$PN$​是​$△ ABD$​的中位线。
∴​$PN=\frac {1}{2}AD。$​
∵​$P，M$​分别是​$BD，CD$​的中点，
∴​$PM$​是​$△ BCD$​的中位线。
∴​$PM=\frac {1}{2}BC。$​
∵​$AD=BC，$​
∴​$PM=PN。$​∴​$∠ PMN=∠ PNM$​
​$ (2)$​解：如图，连接​$BD，$​取​$BD$​的中点​$G，$​
连接​$PG，QG。$​
∵​$P，G $​分别是​$AB，BD$​的中点，
∴​$PG $​是​$△ ABD$​的中位线。
∴​$PG=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×10=5。$​
同理，可得​$QG $​是​$△ BCD$​的中位线，
∴​$QG=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}×8=4。$​
∵​$PG $​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$PG// AD。$​∴​$∠ BPG=∠ A。$​
∵​$QG $​是​$△ BCD$​的中位线，
∴​$QG// BC。$​∴​$∠ DGQ=∠ DBC。$​
∴​$∠ PGQ=∠ PGD+∠ DGQ$​
​$=∠ BPG+∠ ABD+∠ DBC$​
​$=∠ BPG+∠ ABC$​
​$=∠ A+∠ ABC=90°。$​
∴根据勾股定理，得​$PQ=\sqrt {PG^2+QG^2}=\sqrt {41}$​
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