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解：​$(1)$​∵​$E，F_{分别是}AB，AD$​的中点，
∴​$EF $​是​$△ ABD$​的中位线。
∴​$EF// BD。$​∴​$∠ ADB=∠ AFE=50°。$​
∴​$∠ BDC=∠ ADC-∠ ADB=140°-50°=90°$​
​$ (2)$​由​$(1)，$​得​$∠ BDC=90°，$​
∴在​$Rt△ BDC$​中，由勾股定理，
得​$BC^2=BD^2+CD^2。$​设​$BD=x，$​则​$BC=x+1。$
​∴​$(x+1)^2=x^2+3^2，$​解得​$x=4，$​即​$BD=4。$​
∵​$EF $​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$EF=\frac {1}{2}BD=\frac {1}{2}×4=2$​
​$ (1)$​证明：∵​$D，E$​分别为​$AB，AC$​的中点，​
$G，F_{分别为}BH，CH$​的中点，
∴​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线，​$GF $​是​$△ HBC$​的中位线。
∴​$DE// BC，$​​$DE=\frac {1}{2}BC，$​​$GF// BC，$​​$GF=\frac {1}{2}BC。$​
∴​$DE// GF，$​​$DE=GF。$​
∴四边形​$DEFG $​为平行四边形
​$ (2)$​解：∵四边形​$DEFG $​为平行四边形，
∴​$DG=EF=2。$​
∵​$DG⊥ BH，$​∴​$∠ DGB=90°。$​
∴​$BG=\sqrt {BD^2-DG^2}=\sqrt {3^2-2^2}=\sqrt {5}，$​即线段​$BG $​的长为​$\sqrt {5}$​
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