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$AD=BC$（答案不唯一）

 证明：$\because AB$平分$∠ CAE，$$\therefore ∠ CAB=∠ BAE.$

 $\because AB// DF，$$\therefore ∠ BAE=∠ DFE.$

 $\therefore ∠ CAB=∠ EFD.$

 在$△ CAB$和$△ EFD$中，

 $\begin{cases}∠ ACB=∠ FED, \\AC=FE, \\∠ CAB=∠ EFD,\end{cases}$

 $\therefore △ CAB≌△ EFD.$

 $\therefore AB=FD.$

 又$\because AB// FD，$$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形

$50°$

 （1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AB=CD，$$AB// CD.$

 $\therefore ∠ ABE=∠ CDF.$

 $\because AG=CH，$$\therefore AG+AB=CH+CD，$即$BG=DH.$

 在$△ GBE$和$△ HDF$中，

 $\begin{cases}BG=DH, \\∠ GBE=∠ HDF, \\BE=DF,\end{cases}$

 $\therefore △ GBE≌△ HDF.$

 （2）证明：$\because △ GBE≌△ HDF，$$\therefore GE=HF，$$∠ BEG=∠ DFH.$

 $\therefore 180°-∠ BEG=180°-∠ DFH，$即$∠ GEF=∠ EFH.$

 $\therefore GE// HF.$

 $\therefore$ 四边形$GEHF$是平行四边形.

 $\therefore GF=EH$

 （1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB=CD，$$AB// CD.$

 $\because BE=DF，$$\therefore AB-BE=CD-DF，$即$AE=CF.$

 又$\because AE// CF，$$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形.

 （2）解：$\because AB// CD，$$\therefore ∠ AED=∠ CDE.$

 $\because DE$平分$∠ ADC，$$\therefore ∠ ADE=∠ CDE.$

 $\therefore ∠ ADE=∠ AED，$$\therefore AD=AE=5.$

 由（1）可知，四边形$AECF$是平行四边形，$\therefore FC=AE=5.$

 $\therefore CD=DF+FC=3+5=8.$

 $\because AF⊥ DC，$$\therefore ∠ AFD=90°.$

 $\therefore AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

 $\therefore S_{□ ABCD}=CD· AF=8×4=32$