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B
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（1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC，$$OB=OD.$
$\because E,F$分别是$OB,OD$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB，$$OF=\frac{1}{2}OD.$
$\therefore OE=OF，$$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形
（2）解：$\because AB⊥ AC,\therefore ∠ BAC=90°.$
$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=2.$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理，
得$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$
$\therefore BD=2OB=2\sqrt{13}$
​$ (1)$​证明：∵​$BD$​垂直平分​$AC，$​
∴​$∠ DFC=90°，$​​$AD=CD，$​​$AB=BC.$​
​$ $​在​$△ ADB$​和​$△ CDB$​中，
​$ \begin {cases}AD=CD，\\AB=CB，\\DB=DB，\end {cases}$​
∴​$△ ADB≌△ CDB. $​∴​$∠ DAB=∠ DCB.$​
∵​$∠ BCD=∠ ADE，$​∴​$∠ ADE=∠ DAB，$​
∴​$DE// AB.$​
∵​$AE⊥ AC，$​∴​$∠ EAC=∠ DFC=90°，$​
∴​$AE// BD.$​
∴四边形​$ABDE$​是平行四边形
​$ (2)$​解：∵​$AE=DE=5，$​四边形​$ABDE$​是平行四边形，
∴​$AB=DE=5.$​
∵​$AC⊥ BD，$​易得​$AD^2-DF^2=AB^2-BF^2.$​
∴​$6^2-DF^2=5^2-(5-DF)^2，$​解得​$DF=3.6.$​
∴​$AF=\sqrt {AD^2-DF^2}=\sqrt {6^2-3.6^2}=4.8.$​
∴​$AC=2AF=9.6$​
​$ (1)$​证明：由题意，得​$∠ AEB=∠ NFB=90°，$​∴​$AM// CN.$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$CM// AN.$​
∴四边形​$CMAN$​是平行四边形
​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD=BC，$​​$AD// BC，$​∴​$∠ ADE=∠ CBF.$​
∵​$AE⊥ BD，$​​$CF⊥ BD，$​∴​$∠ AED=∠ CFB=90°.$​
​$ $​在​$△ ADE$​和​$△ CBF_{中}，$​
​$ \begin {cases}∠ AED=∠ CFB，\\∠ ADE=∠ CBF，\\AD=CB，\end {cases}$​
∴​$△ ADE≌△ CBF，$​∴​$DE=BF=8.$​
​$ $​在​$Rt△ BFN$​中，∵​$BF=8，$​​$FN=6，$​
∴由勾股定理，得​$BN=\sqrt {BF^2+FN^2}=\sqrt {8^2+6^2}=10$​
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