零五网 › 全部参考答案› 通城学典课时作业本答案 › 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版 › 第53页

第53页

信息发布者：

$2\sqrt{7}$

 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore AB=CD，$$AB// CD。$$\therefore ∠ B=∠ HCE。$

 $\because E$为边$BC$的中点，$\therefore BE=CE。$

 在$△ ABE$和$△ HCE$中，

 $\begin{cases}∠ B=∠ HCE, \\BE=CE, \\∠ AEB=∠ HEC,\end{cases}$

 $\therefore △ ABE≌△ HCE。$

 $\therefore AB=HC。$又$\because AB=CD，$$\therefore CD=HC，$即$C$为$DH$的中点。

 $\because G$为$DF$的中点，$\therefore CG$是$△ DFH$的中位线。$\therefore CG// FH。$

 $\because DF⊥ AE，$$\therefore CG⊥ DF$

$ (1) $证明：∵$∠ ACB=∠ CAD，$

∴$AD// BC。$∴$∠ AEB=∠ EAD。$

∵$∠ AEB+∠ D=180°，$

∴$∠ EAD+∠ D=180°。$∴$AE// CD。$

∴四边形$AECD$是平行四边形。

$ (2) $解：过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H，$则$∠ AHE=∠ ACB=90°。$

∵$AE$平分$∠ BAC，$∴$EC=EH。$

∵四边形$AECD$是平行四边形，

∴$AD=EC，$即$AD=EC=EH。$

$ $在$Rt△ AEF_{中}，$$∠ AEF=90°，$

由勾股定理，可得$EF^2+AE^2=AF^2。$

∵$AF=5，$$AE=2\sqrt {5}，$

∴$EF=\sqrt {AF^2-AE^2}=\sqrt {5^2-(2\sqrt {5})^2}=\sqrt {5}。$

∵$S_{△ AEF}=\frac {1}{2}AF· EH=\frac {1}{2}AE· EF，$

∴$AD=EH=\frac {AE· EF}{AF}=\frac {2\sqrt {5}×\sqrt {5}}{5}=2。$

$ (1) $证明：∵$CF// AB，$

∴$∠ ABE=∠ CFE，$$∠ BAE=∠ FCE。$

∵$BE$是$△ ABC$的边$AC$上的中线，

∴$AE=CE。$

$ $在$△ ABE$和$△ CFE$中，

$ \begin {cases}∠ ABE=∠ CFE， \\∠ BAE=∠ FCE， \\AE=CE，\end {cases}$

∴$△ ABE≌△ CFE。$∴$BE=FE。$

又∵$AE=CE，$

∴四边形$ABCF $是平行四边形。

$ (2) $解：∵四边形$ABCF $是平行四边形，

∴$∠ ABC=∠ AFC=45°，$$BE=EF=\frac {1}{2}BF。$

∵$AE=CE，$$AD$是$△ ABC$的边$BC$上的中线，

∴$DE$是$△ ABC$的中位线。

∴$DE=\frac {1}{2}AB，$$DE// AB。$

∴$∠ EDC=∠ ABC=45°。$

∵$DE=EC=3，$

∴$∠ EDC=∠ ECD=45°，$$AC=2CE=6，$$AB=2DE=6。$

∴$∠ BAC=180°-45°-45°=90°。$

$ $在$Rt△ ABE$中，

$BE=\sqrt {AB^2+AE^2}=\sqrt {6^2+3^2}=3\sqrt {5}。$

∴$BF=2BE=6\sqrt {5}。$