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C
8
解：原式​$=x^2-4xy+4y^2-2(x^2-y^2)+x^2$​
​$ =x^2-4xy+4y^2-2x^2+2y^2+x^2$​
​$=6y^2-4xy$​
​$ $​当​$x=2，y=-1$​时
原式​$=6×(-1)^2-4×2×(-1)=14$​
解：原式​$=x^2-6x+9+2(x^2+5x-14)-(x^2-4)$​
​$ =x^2-6x+9+2x^2+10x-28-x^2+4$​
​$=2x^2+4x-15$​
​$ $​因为​$x^2+2x-3=0，$​所以​$x^2+2x=3$​
​$ $​则原式​$=2(x^2+2x)-15=2×3-15=-9$​
D
解：原式​$=2024^2-(2024-1)×(2024+1)$​
​$ =2024^2-(2024^2-1)$​
​$=1$​
解：原式$=(1000-1)^2+(100+1)^2$
$=1000^2-2×1000×1+1^2+100^2+2×100×1+1^2$
$ =1000000-2000+1+10000+200+1$
$=1008202$
解：原式$=(3-1)×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$
$=(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$
$=(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$
$=(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$
$=(3^{16}-1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$
$=(3^{32}-1)×(3^{32}+1)+1$
$=3^{64}-1+1=3^{64}$
证明：
​$(2m+6)(2m-6)-(7-9m)(7+9m)$​
​$+85$​
​$=4\ \mathrm {m^2}-36-(49-81\ \mathrm {m^2})+85$​
​$=4\ \mathrm {m^2}-36-49+81\ \mathrm {m^2}+85$​
​$=85\ \mathrm {m^2}-85+85=85\ \mathrm {m^2}$​
因为​$m $​为正整数
所以​$85\ \mathrm {m^2}$​能被​$85$​整除
即​$(2m+6)(2m-6)-(7-9m)(7+9m)+85$​
的值能被​$85$​整除。
解：$ (1)9^2-6^2=81-36=45$
$ $因为$45÷3=15$
所以计算$9^2-6^2$的结果是$3$的$15$倍。
$ (2)$比$2n_{大}3$的数为$2n+3，$则
$ (2n+3)^2-(2n)^2=4n^2+12n+9-4n^2$
$=12n+9=3(4n+3)$
$ $因为$4n+3$是整数
所以比$2n_{大}3$的数与$2n$的平方差能被$3$整除
$(3)$余数是$3，$理由如下：
$ $设这个整数为$m，$则
$ (m+3)^2-\mathrm {m^2}=\mathrm {m^2}+6m+9-\mathrm {m^2}=6m+9$
$=6(m+1)+3$
$ $因为$m+1$是整数
所以$6(m+1)$能被$6$整除
因此$(m+3)^2-\mathrm {m^2}$被$6$整除的余数是$3$
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