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 解：原式$=x^4+(n-3)x^3+(m+3-3n)x^2+(mn-9)x+3m$

 因为展开式中不含$x^2$和$x^3$的项，所以

 $n-3=0，$$m+3-3n=0$

 解得$n=3，$$m=6$

 解：

 (1) $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

 $=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)$

 $=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac，$所以这个等式正确。

 (2) 由

 (1)，得原式$=\frac{1}{2}×[(2023-2024)^2+(2024-2025)^2+(2025-2023)^2]$

 $=\frac{1}{2}×(1+1+4)=3$

解：

$ (1) 11×29=(20-9)×(20+9)=20^2-9^2$

同理可得：

$ 12×28=20^2-8^2，$$13×27=20^2-7^2，$

$14×26=20^2-6^2，$$15×25=20^2-5^2，$

$ 16×24=20^2-4^2，$$17×23=20^2-3^2，$

$18×22=20^2-2^2，$$19×21=20^2-1^2，$

$ 20×20=20^2-0^2$

$ (2) 11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25$

$＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20$

$ (3)$若两个正数的和为定值，则当这两个正数的

差的绝对值越大时，这两个正数的积越小。

解：因为$ax+by=3，$$ay-bx=5，$

$ $所以$(ax+by)^2=9，$即$a^2x^2+2abxy+b^2y^2=9①$

$ (ay-bx)^2=25，$即$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=25②$

①+②，得$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=34$

$ $所以$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$

$=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34$

解：$(1)4ab=(b+a)^2-(b-a)^2.$

$(2)$图$②$的面积可表示为$(2a+b)(a+b)$

也可表示为$2a^2+3ab+b^2$

所以$(2a+b)(a+b)=2a^2+3ab+b^2$

$(3)$如图，构造一个边长为$k$的正方形，显然$a+m=$

$b+n=c+l=k，$根据图形可知正方形内部$3$个长

方形的面积和小于正方形的面积

即$al+bm+cn$