解：（1）因为$OC⊥ OA，$所以$∠ AOC = 90°。$
因为$∠ AOC$与$∠ BOC$的度数比为$3:2，$所以$∠ BOC = \frac{2}{3}∠ AOC = 60°。$
当$t=1$时，$∠ AOM = 10°，$$∠ CON = 20°，$所以$∠ MON = ∠ AOC + ∠ CON - ∠ AOM = 100°。$
（2）当$OM$与$OC$重合时，$t=90÷10=9，$所以$0≤ t≤9。$
当射线$ON$与射线$OB$第一次重合时，$t=60÷20=3；$
当射线$ON$回到射线$OC$位置时，$t=3×2=6；$
当射线$ON$与射线$OB$第二次重合时，$t=3×3=9。$
因为$∠ AOC = 90°，$$∠ AOM = 10t°，$所以$∠ COM = ∠ AOC - ∠ AOM = (90-10t)°。$
因为$OC$恰好是$∠ MON$的平分线，所以$∠ CON = ∠ COM = (90-10t)°。$
分类讨论如下：
① 当$0≤ t≤3$时，$∠ CON = 20t°，$则$90-10t=20t，$解得$t=3；$
② 当$3＜t＜6$时，$∠ CON = (120-20t)°，$则$90-10t=120-20t，$解得$t=3，$不合题意，舍去；
③ 当$6≤ t≤9$时，$∠ CON = (20t-120)°，$则$90-10t=20t-120，$解得$t=7。$
综上所述，当$t$的值为$3$或$7$时，$OC$恰好是$∠ MON$的平分线。
（3）因为$OP$平分$∠ CON，$所以$∠ COP = \frac{1}{2}∠ CON。$
因为$∠ COM = (90-10t)°，$所以分类讨论如下：
① 当$0≤ t≤3$时，$∠ CON = 20t°，$则$∠ COP = 10t°，$所以$∠ MOP = ∠ COM + ∠ COP = 90°；$
② 当$3＜t＜6$时，$∠ CON = (120-20t)°，$则$∠ COP = (60-10t)°，$所以$∠ MOP = ∠ COM + ∠ COP = (150-20t)°；$
③ 当$6≤ t≤9$时，$∠ CON = (20t-120)°，$则$∠ COP = (10t-60)°，$所以$∠ MOP = ∠ COM + ∠ COP = 30°。$
综上所述，存在某个时间段，使得$∠ MOP$的度数保持不变，且当$0≤ t≤3$时，$∠ MOP=90°；$当$6≤ t≤9$时，$∠ MOP=30°。$
