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$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
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解：因为方程组$\begin{cases} 3x+y=9 \\ 3ax+4by=18 \end{cases}$和$\begin{cases} 4x-y=5 \\ ax+by=-1 \end{cases}$有相同的解，
所以联立方程组$\begin{cases} 3x+y=9 \\ 4x-y=5 \end{cases}，$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}。$
将$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$代入$\begin{cases} 3ax+4by=18 \\ ax+by=-1 \end{cases}，$得$\begin{cases} 6a+12b=18 \\ 2a+3b=-1 \end{cases}，$
即$\begin{cases} a+2b=3 \\ 2a+3b=-1 \end{cases}，$
解得$\begin{cases} a=-11 \\ b=7 \end{cases}。$
所以$9a+14b=9×(-11)+14×7=-99+98=-1，$
则$(9a+14b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1。$
C
$-\frac{25}{2}$
解：① 因为$(m,n)$是“相随数对”，所以$\frac{m}{2}+\frac{n}{5}=\frac{m+n}{2+5}，$
即$\frac{m}{2}+\frac{n}{5}=\frac{m+n}{7}，$
两边同乘70得$35m+14n=10(m+n)，$
整理得$25m=-4n，$所以$m=-\frac{4}{25}n。$
② 把$m=-\frac{4}{25}n$代入$25m+n=6，$
得$-4n+n=6，$解得$n=-2，$
把$n=-2$代入$m=-\frac{4}{25}n，$得$m=\frac{8}{25}。$
所以$m=\frac{8}{25}，$$n=-2。$
解：(1) $\begin{cases} 3x-2y=5① \\ 9x-4y=19② \end{cases}$
将②变形为$3(3x-2y)+2y=19$③，
把①代入③，得$3×5+2y=19，$解得$y=2，$
把$y=2$代入①，得$3x-2×2=5，$解得$x=3，$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}。$
(2) $\begin{cases} 3x^2-2xy+12y^2=47① \\ 2x^2+xy+8y^2=36② \end{cases}$
将①变形为$3(x^2+4y^2)=47+2xy，$即$x^2+4y^2=\frac{47+2xy}{3}$③，
将②变形为$2(x^2+4y^2)=36-xy$④，
把③代入④，得$2×\frac{47+2xy}{3}=36-xy，$
两边同乘3得$2(47+2xy)=108-3xy，$
整理得$7xy=14，$解得$xy=2，$
把$xy=2$代入③，得$x^2+4y^2=\frac{47+2×2}{3}=17。$
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