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$60°$
$75°$
$40°$或$10°$或$25°$
​$ (1) ∠ AOC=∠ ODC。$​
证明：因为​$△ ABC$​三个内角的平分线交于点​$O，$​
​$ $​所以​$∠ OBD=\frac {1}{2}∠ ABC$​
​$∠ OAC+∠ OCA=\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)$​
​$=\frac {1}{2}(180°-∠ ABC)，$​
​$ $​所以​$∠ AOC=180°-(∠ OAC+∠ OCA)$​
​$=90°+\frac {1}{2}∠ ABC=90°+∠ OBD。$​
​$ $​因为​$OD⊥ OB$​
所以​$∠ BOD=90°，$​
​$ $​所以​$∠ ODC=∠ BOD+∠ OBD=90°+∠ OBD，$​
​$ $​所以​$∠ AOC=∠ ODC。$​
​$ (2) ① $​证明：因为​$BF $​平分​$∠ ABE$​
​$∠ OBD=\frac {1}{2}∠ ABC，$​
​$ $​所以​$∠ FBE=\frac {1}{2}∠ ABE$​
​$=\frac {1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-∠ OBD。$​
​$ $​因为​$∠ BOD=90°$​
所以​$∠ ODB=180°-∠ BOD-∠ OBD$​
​$=90°-∠ OBD，$​
​$ $​所以​$∠ FBE=∠ ODB，$​所以​$BF// OD。$​
​$ ② $​因为​$∠ FBE=∠ F+∠ BCF，$​
​$∠ ABE=∠ BAC+∠ ACB，$​
​$ $​所以​$∠ F=∠ FBE-∠ BCF，$​
​$∠ BAC=∠ ABE-∠ ACB$​
​$ $​因为​$∠ ABE=2∠ FBE，$​​$∠ ACB=2∠ BCF，$​​$∠ F=35°，$​
​$ $​所以​$∠ BAC=2(∠ FBE-∠ BCF)=2∠ F=70°。$​
B
$180°$
$55°$
$55°$
​$ (2) ∠ BEC+∠ BFC=180°。$​
证明：由
​$ (1)$​得​$∠ A_{1}EC=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)，$​
​$∠ BFC=\frac {1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$​
所以​$∠ A_{1}EC=∠ BFC。$​
​$ $​因为​$∠ BEC+∠ A_{1}EC=180°$​
所以​$∠ BEC+∠ BFC=180°。$​
​$ (3) $​因为​$∠ A_{1}CD=\frac {1}{2}∠ ACD，$​
​$∠ A_{1}BC=\frac {1}{2}∠ ABC，$​
​$ $​所以​$∠ A_{1}=∠ A_{1}CD-∠ A_{1}BC$​
​$=\frac {1}{2}(∠ ACD-∠ ABC)$​
​$=\frac {1}{2}∠ A=(\frac {m}{2})°。$​
​$ $​同理可得​$∠ A_{2}=∠ A_{2}CD-∠ A_{2}BC$​
​$=\frac {1}{2}(∠ A_{1}CD-∠ A_{1}BC)$​
​$=\frac {1}{2}∠ A_{1}=(\frac {m}{2^2})°……$​
​$ $​根据此规律可知​$∠ A_{2025}$​的度数为​$(\frac {m}{2^{2025}})°。$​
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