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A
B
B
$36°$或$108°$
解：
（1）方程组$\begin{cases}x+2y=7\\x-y=1\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”。理由如下：
解方程组$\begin{cases}x+2y=7\\x-y=1\end{cases}，$得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}。$
因为$|x-y|=|3-2|=1，$所以方程组$\begin{cases}x+2y=7\\x-y=1\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”。
（2）解方程组$\begin{cases}2x-y=6\\4x+y=6m\end{cases}，$得$\begin{cases}x=m+1\\y=2m-4\end{cases}。$
因为该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，所以$|x-y|=1，$即$|m+1-(2m-4)|=1，$
化简得$|5-m|=1，$解得$m=4$或$m=6。$
（3）解方程组$\begin{cases}x+ay=7\\2y-x=5\end{cases}，$得$\begin{cases}x=\dfrac{14-5a}{a+2}\\y=\dfrac{12}{a+2}\end{cases}。$
因为$a$与$x,y$都是正整数，所以$\begin{cases}a=1\\x=3\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=2\\x=1\\y=3\end{cases}。$
因为$|3-4|=1，$$|1-3|≠1，$所以当$a=1$时，方程组$\begin{cases}x+ay=7\\2y-x=5\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”，且方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}。$
解：
（1）由题意得：
$F(243)=(423+342+234)÷111=999÷111=9；$
$F(617)=(167+716+671)÷111=1554÷111=14。$
（2）由题意得：
$F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=(555+111x)÷111=x+5；$
$F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=(666+111y)÷111=y+6。$
因为$F(s)+F(t)=18，$所以$x+5+y+6=18，$即$x+y=7。$
因为$s,t$都是“相异数”，所以$x≠2,x≠3$且$y≠1,y≠5。$
又因为$1≤ x≤9,1≤ y≤9，$且$x,y$都是正整数，所以可能的解为$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}，$$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}，$$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}。$
因为$k=\dfrac{F(s)}{F(t)}，$所以：
①当$\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$时，$F(s)=6，$$F(t)=12，$则$k=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}；$
②当$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$时，$F(s)=9，$$F(t)=9，$则$k=\dfrac{9}{9}=1；$
③当$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$时，$F(s)=10，$$F(t)=8，$则$k=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}。$
因为$\dfrac{1}{2}＜1＜\dfrac{5}{4}，$所以$k$的最大值为$\dfrac{5}{4}。$
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