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解：
​$ (1) $​设​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y=kx+b，$​
​$ $​由图​$2$​可知函数图象过点​$(0，6)$​和​$(15，3)，$​
将点代入得：
​$ \begin {cases}b=6\\15k+6=3\end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases}k=-\frac {1}{5}\\b =6\end {cases}$​
​$ $​所以​$y=-\frac {1}{5}x+6。$​
​$ (2) $​存在，分两种情况：
​$ ① $​当​$y＞h $​时，​$y-h=1，$​
​$ $​即​$-\frac {1}{5}x+6 - (-\frac {3}{10}x+6)=1，$​
​$ $​化简得​$\frac {1}{10}x=1，$​解得​$x=10；$​
② 当甲到达一楼后，​$h=0，$​此时​$y=1，$​
​$ $​即​$-\frac {1}{5}x+6=1，$​解得​$x=25。$​
综上，当下行时间为​$10s $​或​$ 25s $​时，两人竖直高度相差​$1$​米。
解：
​$ (1) $​点​$B$​的实际意义是：当用水量为​$25\ \mathrm {m^3}$​时，水费为​$90$​元，
该点是第二阶梯与第三阶梯用水量的分界点。
​$ (2) $​设一级阶梯用水单价为​$x$​元​$/\mathrm {m^3}，$​
则二级阶梯单价为​$1.5x$​元​$/\mathrm {m^3}，$​
​$ $​设点​$A$​的坐标为​$(a，45)，$​根据题意得：
​$ \begin {cases}ax=45\\ax +1.5x(25-a)=90\end {cases}$​
​$ $​将​$ax=45$​代入第二个方程得：
​$ 45+1.5x(25-a)=90，$​
​$ 1.5x(25-a)=45，$​
​$ $​又因为​$x=\frac {45}{a}，$​代入得：
​$ 1.5×\frac {45}{a}(25-a)=45，$​
​$ $​化简得​$1.5(25-a)=a，$​
​$ $​解得​$a=15，$​故点​$A$​的坐标为​$(15，45)。$​
​$ (3) $​由​$(2)$​得一级阶梯单价​$x=3$​元​$/\mathrm {m^3}，$​
则三级阶梯单价为​$2×3=6$​元​$/\mathrm {m^3}，$​
​$ $​因为​$102$​元​$＞90$​元，
所以用水量超过​$25\ \mathrm {m^3}，$​
​$ $​设用水量为​$z\mathrm {m^3}，$​
则：​$90+6(z-25)=102，$​
​$ $​解得​$z=27。$​
答：相应用水量为​$27$​立方米。
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