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第44页

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 解：

 (1) 因为点$M(2,m)$在$y=x$的图象上，所以$m=2。$

 将$M(2,2)$代入$y=-\frac{1}{2}x+b，$

得$2=-\frac{1}{2}×2+b，$

解得$b=3，$

则函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+3。$

 令$y=0，$得$0=-\frac{1}{2}x+3，$

解得$x=6，$

所以$A(6,0)。$

 (2) 由$OB=3，$点$P(a,0)，$

得$C(a,-\frac{1}{2}a+3)，$$D(a,a)，$

 则$CD=a-(-\frac{1}{2}a+3)=\frac{3}{2}a-3。$

 由$OB=CD$得$3=\frac{3}{2}a-3，$

解得$a=4。$

 (3) $OA=6，$

$OD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}，$

$AD=\sqrt{(a-6)^2+a^2}，$分三种情况：

 ①当$OA=OD$时，$6=a\sqrt{2}，$解得$a=3\sqrt{2}；$

 ②当$OA=AD$时，$6=\sqrt{(a-6)^2+a^2}，$解得$a=3；$

 ③当$OD=AD$时，$a\sqrt{2}=\sqrt{(a-6)^2+a^2}，$解得$a=6；$

 综上，$a$的值为$3\sqrt{2}$或$3$或$6。$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{5}$

$-1$

 解：(2)

 对于直线$y=-\frac{4}{3}x+4b(b＞0)，$

令$x=0，$得$y=4b，$

故$B(0,4b)；$

令$y=0，$得$x=3b，$

故$A(3b,0)。$

 由折叠性质知$AC=AB=\sqrt{(3b)^2+(4b)^2}=5b，$

则$OC=OA+AC=3b+5b=8b，$

即$C(8b,0)。$

 设$M(0,m)，$由折叠知$MC=MB=4b-m，$

在$Rt△ MOC$中，由勾股定理得：

 $m^2+(8b)^2=(4b-m)^2$

 展开化简得$8bm=-48b^2，$

解得$m=-6b，$

故$M(0,-6b)。$

 设经过$C$、$M$两点的一次函数表达式为$y=kx+n，$

将$C(8b,0)$、$M(0,-6b)$代入得：

 $\begin{cases}8bk+n=0 \\ n=-6b\end{cases}$

 解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4} \\ n=-6b\end{cases}$

 所以该一次函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-6b。$

 若该函数为“幸福函数”，则其图象过点$P(2,1)，$代入得：

 $1=\frac{3}{4}×2-6b$

 解得$b=\frac{1}{12}＞0，$符合条件。

 将$b=\frac{1}{12}$代入表达式，得$y=\frac{3}{4}x-6×\frac{1}{12}=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}。$

 答：经过C、M两点的一次函数可以为“幸福函数”，函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}。$