解：(1)设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c$。
已知抛物线过点$C(0，3)$，代入得：
$c=3$
又过点$A(-3，0)$和$B(1，0)$，代入得：
$9a-3b+3=0\quad (1)$
$a+b+3=0\quad (2)$
由(2)得：$b=-a-3$，代入(1):
$9a-3(-a-3)+3=0$
$9a+3a+9+3=0$
$12a+12=0$
$a=-1$
代入得：$b=-(-1)-3=1-3=-2$。
所以抛物线表达式为：
$y=-x^2-2x+3$
$(2)$
设直线$AC$的表达式为$y=kx+n$。
代入$A(-3，0)$和$C(0，3)$：
$\begin {cases}-3k+n=0\\n =3\end {cases}$ $⇒ k=1$
所以直线$AC$的表达式为：
$y=x+3$
过点$P$作$PE// y$轴交直线$AC$于点$D$。
设点$P(t，-t^2-2t+3)$，则点$D(t，t+3)$。
$DP=(-t^2-2t+3)-(t+3)=-t^2-3t$
因为$∠ PDQ=45°$，所以：
$PQ=\frac {\sqrt {2}}{2}· DP=\frac {\sqrt {2}}{2}(-t^2-3t)$
令$f(\mathrm {t})=-t^2-3t$，
其最大值在$t=-\frac {3}{2}$时取
得：
$f(-\frac {3}{2})=-(-\frac {3}{2})^2-3(-\frac {3}{2})=-\frac {9}{4}+\frac {9}{2}=\frac {9}{4}$
此时点$P$的纵坐标：
$y=-(-\frac {3}{2})^2-2(-\frac {3}{2})+3=-\frac {9}{4}+3+3=\frac {15}{4}$
所以点$P$坐标为$(-\frac {3}{2}，\frac {15}{4})$，
$PQ_{\mathrm{max}}=\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8}$
$(3)$
由翻折性质，$△ CPM$沿$CP$翻折后，
点$M$对应点$N$在$y$轴上。
因为$PM// x$轴，$∠ PMC=45°$，翻折后$∠ PNC=45°$，
所以$△ CGM$和$△ NGP$均为等腰直角三角形。
设$CG=GM=m$，则$CM=\sqrt {2}m$，$CN=\sqrt {2}m$，
所以$NG=GP=CG+CN=m+\sqrt {2}m$，
点$P$的横坐标为$-NG=-m(1+\sqrt {2})$，
即$n=-m(1+\sqrt {2})$。
代入$(3)$：
$[-m(1+\sqrt {2})]^2+2[-m(1+\sqrt {2})]+m=0$
展开：
$\mathrm {m^2}(1+2\sqrt {2}+2)-2m(1+\sqrt {2})+m=0⇒$
$\mathrm {m^2}(3+2\sqrt {2})-m(1+2\sqrt {2})=0$
因$m≠0$，两边除以$m$：
$m(3+2\sqrt {2})=1+2\sqrt {2}⇒ m=\frac {1+2\sqrt {2}}{3+2\sqrt {2}}=$
$\frac {(1+2\sqrt {2})(3-2\sqrt {2})}{(3+2\sqrt {2})(3-2\sqrt {2})}=\frac {3-2\sqrt {2}+6\sqrt {2}-8}{9-8}=$
$\frac {-5+4\sqrt {2}}{1}=4\sqrt {2}-5$
所以点$M$的坐标为$(4\sqrt {2}-5，4\sqrt {2}-2)$。
点$P$的横坐标为$n=-m(1+\sqrt {2})=-(4\sqrt {2}-5)(1+\sqrt {2})$，
计算：
$=-(4\sqrt {2}-5)(1+\sqrt {2})$
$=-[4\sqrt {2}+8-5-5\sqrt {2}]$
$=-[3-\sqrt {2}]$
$=\sqrt {2}-3$
纵坐标为$m+3=4\sqrt {2}-5+3=4\sqrt {2}-2$。
所以点$P$的坐标为$(\sqrt {2}-3，4\sqrt {2}-2)$。
