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第137页

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14.5

$2\sqrt{3}$

 （1）证明：如图，连接$BD.$

 $\because$ 边$AB$上的垂直平分线为$DE，$

 $\therefore AD=BD.$

 $\because BC^{2}=AD^{2}-CD^{2}，$

 $\therefore BC^{2}=BD^{2}-CD^{2}，$即$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}.$

 $\therefore △ BCD$为直角三角形，且$∠ C=90°.$

 （2）解：设$CD=x，$则$BD=AD=4-x.$

 由（1）知$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}，$即$x^{2}+3^{2}=(4-x)^{2}，$

 展开得$x^{2}+9=16-8x+x^{2}，$

 化简得$8x=7，$解得$x=\frac{7}{8}.$

 $\therefore CD$的长为$\frac{7}{8}.$

$\sqrt{5}$

$2\sqrt{5}$

 （2）解：$∠ BAD$是直角，理由如下：

 如图，连接$BD.$

 $\because B(2,0)，$$D(2,5)，$$\therefore BD=5-0=5.$

 由（1）知$AD=\sqrt{5}，$$AB=2\sqrt{5}，$

 $\therefore AD^{2}=5，$$AB^{2}=20，$又$\because BD^{2}=25，$

 $\therefore AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}，$

 $\therefore △ ABD$是直角三角形，且$∠ BAD=90°.$

 （3）解：如图，过点$B$作$BE⊥ CD$于点$E，$过点$C$作$CG⊥ x$轴于点$G.$

 $\because C(5,1)，$$D(2,5)，$$\therefore CD=\sqrt{(5-2)^{2}+(1-5)^{2}}=5.$

 又$\because B(2,0)，$$D(2,5)，$$\therefore BD⊥ x$轴，$BG=5-2=3.$

 $\because S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· BG=\frac{1}{2}CD· BE，$

 $\therefore BE=\frac{BD· BG}{CD}=\frac{5×3}{5}=3.$

 $\therefore$ 点$B$到直线$CD$的距离为3.