证明：$(1)$∵$AC⊥ BD，$∴$∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=90°.$
$ $分别在$Rt△ AOD，$$Rt△ BOC，$$Rt△ AOB，$$Rt△ COD$中，由勾股定理得：
$ AD^2=AO^2+DO^2，$$BC^2=BO^2+CO^2，$$AB^2=AO^2+BO^2，$$CD^2=CO^2+DO^2.$
∴$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2，$
$ AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2，$
∴$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$
$ (2)①$解：如图①，连接$PC，$$AQ $交于点$D.$
∵$△ ABP $和$△ BCQ $都是等腰直角三角形，
∴$PB=AB=5，$$BQ=BC=4，$$∠ ABP=∠ CBQ=90°，$
∴$PA=\sqrt {PB^2+AB^2}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt {2}，$$CQ=\sqrt {BC^2+BQ^2}=\sqrt {4^2+4^2}=4\sqrt {2}，$
∵$∠ ABP+∠ ABC=∠ CBQ+∠ ABC，$∴$∠ PBC=∠ ABQ.$
$ $在$△ PBC$和$△ ABQ_{中}，$
$ \begin {cases}PB=AB， \\∠ PBC=∠ ABQ， \\BC=BQ，\end {cases}$
∴$△ PBC≌△ ABQ(\mathrm {SAS})，$∴$∠ BPC=∠ BAQ.$
又∵$∠ BPC+∠ CPA+∠ BAP=90°，$
∴$∠ BAQ+∠ CPA+∠ BAP=90°，$∴$∠ PDA=90°，$即$PC⊥ AQ.$
∵$∠ ACB=90°，$在$Rt△ ABC$中，$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3.$
$ $由$(1)$的结论$AP^2+CQ^2=AC^2+PQ^2，$
$ $即$(5\sqrt {2})^2+(4\sqrt {2})^2=3^2+PQ^2，$
$ $计算得$50+32=9+PQ^2，$$PQ^2=73，$∴$PQ=\sqrt {73}.$
