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第140页

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①②⑤

$\sqrt{5}$

$2\sqrt{2}$

 证明：（1）$\because$ 四边形$ABDE$是平行四边形，

$\therefore BD// AE，$$BD=AE。$

 $\therefore ∠ ACB = ∠ CAE。$

 $\because AB = AC，$$\therefore ∠ ABD = ∠ ACB。$

 $\therefore ∠ ABD=∠ CAE。$

 在$△ BAD$和$△ ACE$中，

 $\begin{cases}AB=CA, \\∠ ABD=∠ CAE, \\BD=AE,\end{cases}$

 $\therefore △ BAD≌△ ACE$

 （2）如图，过点$A$作$AG⊥ BC，$垂足为$G。$

 设$AG=x(x＞0)。$在$\mathrm{Rt}△ AGD$中，$\because ∠ ADC=45°，$$\therefore ∠ DAG=45°=∠ ADC。$$\therefore DG=AG=x。$

 在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，$\because ∠ ABD=30°，$$\therefore BG=\sqrt{3}x。$

 又$\because BG-DG=BD，$$BD=10，$

 $\therefore \sqrt{3}x - x=10，$解得$x=5\sqrt{3}+5。$

 $\therefore AG=5\sqrt{3}+5。$

 $\therefore S_{□ ABDE}=BD· AG=10×(5\sqrt{3}+5)=50\sqrt{3}+50$

 证明：（1）$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// CB。$

 $\therefore ∠ OED=∠ OFB。$

 $\because O$是$□ ABCD$对角线的交点，$\therefore OD=OB。$

 在$△ ODE$和$△ OBF$中，

 $\begin{cases}∠ OED=∠ OFB, \\∠ DOE=∠ BOF, \\OD=OB,\end{cases}$

 $\therefore △ ODE≌△ OBF$

 （2）由（1），得$△ ODE≌△ OBF，$$\therefore DE=BF。$

 $\because DE// BF，$$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。

 $\because EF⊥ BD，$$\therefore$ 四边形$BEDF$是菱形。

 $\therefore DF=BF=BE=DE=15。$

 $\therefore DF+BF+BE+DE=4×15=60，$即四边形$BEDF$的周长为60