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证明：（1）$\because O$为$AD$的中点，$\therefore AO=DO。$
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD。$
$\therefore ∠ BAO=∠ EDO。$
又$\because ∠ AOB=∠ DOE，$$\therefore △ AOB≌△ DOE。$
$\therefore AB=DE。$
又$\because AB// DE，$$\therefore$ 四边形$ABDE$是平行四边形。
$\because ∠ BDC=90°，$$\therefore ∠ BDE=90°。$
$\therefore$ 四边形$ABDE$是矩形
（2）如图，过点$O$作$OF⊥ DE$于点$F。$
$\because$ 四边形$ABDE$是矩形，
$\therefore DE=AB=4，$$OD=\frac{1}{2}AD，$$OB=OE=\frac{1}{2}BE，$$AD=BE。$
$\therefore OD=OE。$
$\because OF⊥ DE，$$\therefore DF=EF=\frac{1}{2}DE=2。$
$\therefore OF$为$△ BDE$的中位线。$\therefore OF=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{5}。$
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore CD=AB=4。$
$\therefore CF=CD+DF=6。$
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理，
得$OC=\sqrt{CF^2+OF^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{5})^2}=2\sqrt{14}$

证明：​$(1)$​连接​$BE。$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$BC=DC，$​​$∠ BCA=∠ DCA=45°。$​
又∵​$EC=EC，$​∴​$△ BCE≌△ DCE。$​
∴​$BE=DE，$​​$∠ EBC=∠ EDC。$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，∴​$∠ DCF=90°。$​
∵​$DE⊥ EF，$​∴​$∠ DEF=90°。$​
∴​$∠ CDE+∠ CFE=360°-(∠ DCF+∠ DEF)=180°。$​
∵​$∠ CFE+∠ EFB=180°，$​
∴​$∠ CDE=∠ EFB。$​
∴​$∠ EBF=∠ EFB。$​
∴​$BE=EF。$​∴​$DE=EF$
​
​$(2)① $​∵四边形​$DEFG $​为矩形，
由​$(1)$​知，​$DE=EF，$​∴四边形​$DEFG $​为正方形。
∴​$DE=DG。$​
∵四边形​$ABCD$​为正方形，
∴​$AD=DC，$​​$∠ ADC=90°=∠ EDG。$​
∴​$∠ ADE=∠ CDG。$​
∴​$△ ADE≌△ CDG。$​∴​$AE=CG。$​
∵​$AB=4，$​∴​$AC=4\sqrt {2}。$​
∵​$CE=3\sqrt {2}，$​
∴​$CG=AE=AC-CE=\sqrt {2}$​
② 如图①，当​$∠ ADE=35°$​时，​$∠ CDE=90°-∠ ADE=55°。$​
∵易知​$∠ CDE+∠ EFC=180°，$​∴​$∠ EFC=125°。$​
如图②，当​$∠ CDE=35°$​时，设​$EF_{交}DC$​于点​$H。$​
∵​$∠ DEH=∠ HCF=90°，$​​$∠ DHE=∠ CHF，$
​∴​$∠ EFC=∠ CDE=35°。$​
综上所述，​$∠ EFC=125°$​或​$35°$​
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