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​$(1)$​证明：
∵四边形​$PENF $​是矩形，​$BC//AD，$​​$AD⊥$​直线​$l，$​
∴​$PR⊥PF，$​​$DQ⊥PE，$​​$∠DQP=∠PRC=90°，$​
∵​$∠PDQ+∠DPQ=90°，$​​$∠CPR+∠DPQ=90°，$​
∴​$∠PDQ=∠CPR，$​
∴​$△PDQ∽△CPR.$​
(2)解: 如图, 延长​$BR$​交直线​$l$​于点​$G$​, 可知​$RG=PE=1.16$​米,
设​$PR=x$​米,
​$∵PF=PR+RF=(x+0.8)$​米, ​$DQ+PF=AB=4$​米,
​$∴DQ=4-PF=4-x-0.8=(3.2-x)$​米
​$∵△ PDQ ∽ △ CPR$​,
​$∴\frac {DQ}{PR}=\frac {PQ}{CR}$​,
​$∵PQ=PE-QE=0.96$​米,
​$∴\frac {3.2-x}{x}=\frac {0.96}{1.44}$​,
解得​$x=1.92$​,
​$∴PF=1.92+0.8=2.72$​(米)


解：​$ (1)$​证明：
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=AD，$​​$∠B=∠ADF=90°，$​
​$ $​在​$△ABE$​和​$△ADF_{中}$​：
​$$\begin {cases}{AB=AD} \\{∠B=∠ADF} \\{BE=DF}\end {cases} $$​
∴​$△ABE≌△ADF(\mathrm {SAS})$​
∴​$AE=AF.$​
​$ (2)①$​当点​$E$​在边​$BC$​上时​$($​如备用图​$1)，$​
过点​$G_{作}GM⊥ AD，$​垂足为​$M，$​延长​$MG$​
交​$BC$​于点​$N.$​
∴​$∠ AMG=∠ DMG=∠ GNE=90°，$​
四边形​$CDMN$​是矩形​$.$​
∴​$∠ 2+∠ 3=90°.$​
∵​$EG⊥ AF，$​​$∠ EAF=45°，$​
∴​$∠ 2+∠ 1=90°，$​
​$△ AEG $​为等腰直角三角形，​$AG=EG.$​
∴​$∠ 1=∠ 3.$​
∴​$△ AMG≌△ GNE.$​
∴​$AM=GN.$​
∵​$△ MDG $​为等腰直角三角形，​$∠ 4=45°.$​
∴​$∠ GDC=45°.$​
​$②$​当点​$E$​在边​$CD$​上时​$($​如备用图​$2)，$​
过点​$G_{作}GN⊥ DF，$​垂足为​$N，$​延长​$NG$​
交​$BA$​延长线于点​$M，$​则四边形​$ADNM$​是矩形，
同理，​$△ AMG≌△ GNE.$​
∴​$GN=AM=DN.$​
∴​$△ NDG $​为等腰直角三角形，​$∠ 1=45°.$​
∴​$∠ GDC=180°-45°=135°.$​
综上，​$∠ GDC$​的度数为​$45°$​或​$135°.$​
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