$(1)$证明：
$ $设$AE=a，$则$AD=na，$
∵点$A$关于$BE$的对称点为$F，$
∴$AE=FE，$$∠EAF=∠EFA，$
∵$GF⊥AF，$
∴$∠EAF+∠FGA=90°，$
$ $又$∠EFA+∠EFG=90°，$
∴$∠FGA=∠EFG，$
∴$EG=EF，$
∴$AE=GE.$
$ (2)$解：
$ $当点$F_{落在}AC$上时，由对称知$BE⊥AF，$
∴$∠ABE+∠BAC=90°，$
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠DAC+∠BAC=90°，$
∴$∠ABE=∠DAC，$
$ $又$∠BAE=∠D=90°，$
∴$△ABE∽△DAC，$
∴$\frac {AB}{DA}=\frac {AE}{DC}，$
∵$AB=DC，$
∴$AB^2=AD· AE=na· a=na^2，$
∵$AB＞0，$
∴$AB=\sqrt {n}a，$
∴$\frac {AD}{AB}=\frac {na}{\sqrt {n}a}=\sqrt {n}.$
$ (3)$解：
$ $若$AD=4AB，$则$AB=\frac {n}{4}a，$
$ $当点$F $落在线段$BC$上时，$EF=AE=AB=a，$
此时$\frac {n}{4}a=a，$解得$n=4，$
∵点$F $落在矩形内部，
∴$n＞4，$
∵点$F $落在矩形内部，点$G $在$AD$上，
∴$∠FCG＜∠BCD=90°，$故$∠FCG≠90°，$
$ ①$当$∠CFG=90°$时，点$F_{落在}AC$上，由
$ (2)$得$\frac {AD}{AB}=\sqrt {n}，$
∵$AD=4AB，$
∴$\sqrt {n}=4，$解得$n=16；$
$ ②$当$∠CGF=90°$时，$∠CGD+∠AGF=90°，$
∵$∠FAG+∠AGF=90°，$
∴$∠CGD=∠FAG=∠ABE，$
$ $又$∠BAE=∠D=90°，$
∴$△ABE∽△DGC，$
∴$\frac {AB}{DG}=\frac {AE}{DC}，$
∵$DG=AD-AE-EG=na-a-a=(n-2)a，$
$AB=DC=\frac {n}{4}a，$$AE=a，$
∴$\frac {\frac {n}{4}a}{(n-2)a}=\frac {a}{\frac {n}{4}a}，$
$ $即$(\frac {n}{4})^2=n-2，$
$ $整理得$n^2-16n+32=0，$
$ $解得$n=8+4\sqrt {2}$或$n=8-4\sqrt {2}，$
∵$n＞4，$$8-4\sqrt {2}＜4，$舍去，
综上，$n$的值为$16$或$8+4\sqrt {2}.$
