解：
$ (1) $连接$OA、$$AF，$
$ $正六边形边长为$2\ \mathrm {dm}，$$O$是$AB$中点，
故$OA=1\ \mathrm {dm}，$$AF=6\ \mathrm {dm}，$$∠ OAF=120°。$
由余弦定理得：
$ OF^2=OA^2+AF^2-2· OA· AF·\cos ∠ OAF$
$ =1^2+6^2-2×1×6×\mathrm {cos}120°$
$ =1+36-12×(-\frac {1}{2})=43，$
$ $所以$OF=\sqrt {43}\mathrm {dm}。$
答：$OF $的长为$\sqrt {43}\mathrm {dm}。$
$(2)$
如图$3，$由题意得$：M，M_{1}，M_{2}，M_{3}，M_{4}，M_{5}，M_{6}$共线$，$连接$MM_{6}，$
过点$Q_{作}QN⊥MM_{6}，$垂足为$N，$
则$MM_{1}=M_{2}M_{3}=M_{4}M_{5}，$$M_{1}M_{2}=M_{3}M_{4}=M_{5}M_{6}=2\ \mathrm {dm}，$
∵$∠NM_{6}Q=180°-120°=60°，$$M_{6}Q=2\ \mathrm {dm}，$
∴$M_{6}N=M_{6}Q\mathrm {cos}60°=2×\frac {1}{2}=1(\mathrm {dm})，$
设左上角正六边形中心为$O，$其左上角的顶点为$W，$连接$OW，$
则$∠MOW=\frac {360°}{6}=60°，$$OM=OW，$
∴$△OMW $是等边三角形$，$
∴$OM=OM_{1}=MW=2\ \mathrm {dm}，$
∴$MM_{1}=2×2=4(\mathrm {dm})，$
∴$MN=3MM_{1}+3M_{1}M_{2}+M_{6}N=3×4+3×2+1=19(\mathrm {dm})，$
答$：$该置物架所占墙面的宽度为$19\ \mathrm {dm}.$
