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$\frac{13}{2}$
2
4
$\frac{2}{5}$或$10$
$3\sqrt{2}$
$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$
$6 - 2\sqrt{3}$
​解：$ (1) $​证明​$：$​
∵ AF 平分​$∠DAC$​,
∴ ​$∠DAF = ∠CAF$​。
∵ ​$AF // BC$​,
∴ ​$∠DAF = ∠B$​（两直线平行，同位角相等）,
​$∠CAF = ∠ACB$​（两直线平行，内错角相等）。
∴ ​$∠B = ∠ACB$​。
∴ ​$AB = AC$​。
∴ ​$△ABC$​是等腰三角形。
​$ (2)$​
∵ ​$∠B = 40°$​, 且​$△ABC$​是等腰三角形,
∴ ​$∠ACB = ∠B = 40°$​。
在​$△ABC$​中,
​$∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 40° - 40° = 100°$​。
∵ ​$∠ACE$​是​$△ABC$​的外角,
∴ ​$∠ACE = ∠BAC + ∠B = 100° + 40° = 140°$​。
∵ CG 平分​$∠ACE$​,
∴ ​$∠ACG = \frac {1}{2}×140° = 70°$​。
∵ ​$AF // BC$​,
∴ ​$∠AGC = ∠ACG$​（两直线平行，内错角相等）。
∴ ​$∠AGC = 70°$​。
答: ​$∠AGC$​的度数为​$70°$​。
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